Question

Cosα+cos3α+cos5α/ sinα+sin3α+sin5α ​ =tan3α​ докажите

Answer 1

Объяснение:

$></p> <p><img src=$

Answer 2

Для доказательства равенства cosα + cos3α + cos5α / sinα + sin3α + sin5α = tan3α воспользуемся формулами тригонометрии и преобразуем выражение пошагово.

Шаг 1: Преобразование числителя

Используем формулу суммы косинусов: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Применим эту формулу к числителю выражения: cosα + cos3α + cos5α = cosα + (cosαcos2α - sinαsin2α) + (cosαcos4α - sinαsin4α)

Раскроем скобки: cosα + cosαcos2α - sinαsin2α + cosαcos4α - sinαsin4α

Шаг 2: Преобразование знаменателя

Используем формулу суммы синусов: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим эту формулу к знаменателю выражения: sinα + sin3α + sin5α = sinα + (sinαcos2α + cosαsin2α) + (sinαcos4α + cosαsin4α)

Раскроем скобки: sinα + sinαcos2α + cosαsin2α + sinαcos4α + cosαsin4α

Шаг 3: Преобразование числителя и знаменателя

Теперь, заменим cos2α на 1 - sin^2(2α) и cos4α на 1 - sin^2(4α): cosα + cosα(1 - sin^2(2α)) - sinαsin2α + cosα(1 - sin^2(4α)) - sinαsin4α / sinα + sinαcos2α + cosαsin2α + sinαcos4α + cosαsin4α

Раскроем скобки: cosα + cosα - cosαsin^2(2α) - sinαsin2α + cosα - cosαsin^2(4α) - sinαsin4α / sinα + sinα + cosαsin2α + sinαcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Упростим выражение: 2cosα - cosαsin^2(2α) - sinαsin2α - cosαsin^2(4α) - sinαsin4α / 2sinα + cosαsin2α + sinαcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Шаг 4: Преобразование числителя

Раскроем скобки в числителе: 2cosα - cosαsin^2(2α) - sinαsin2α - cosαsin^2(4α) - sinαsin4α = 2cosα - cosα(1 - cos^2(2α)) - sinαsin2α - cosα(1 - cos^2(4α)) - sinαsin4α

Упростим выражение: 2cosα - cosα + cos^3(2α) - sinαsin2α - cosα + cos^3(4α) - sinαsin4α - sinαsin2α - sinαsin4α

Шаг 5: Преобразование знаменателя

Раскроем скобки в знаменателе: 2sinα + cosαsin2α + sinαcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α = 2sinα + sinαcos2α + sinαcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Упростим выражение: 2sinα + 2sinαcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Шаг 6: Преобразование числителя и знаменателя

Теперь, заменим sin2α на 2sinαcosα и sin4α на 2sin2αcos2α: 2cosα - cosα + cos^3(2α) - sinαsin2α - cosα + cos^3(4α) - sinαsin4α - sinαsin2α - sinαsin4α / 2sinα + 2sinαcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Упростим выражение: cosα + cos^3(2α) - 2sinαsin2α + cos^3(4α) - 2sinαsin4α / 2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Шаг 7: Преобразование числителя

Раскроем скобки в числителе: cosα + cos^3(2α) - 2sinαsin2α + cos^3(4α) - 2sinαsin4α = cosα + (cosαcos^2(2α) - sinαsin^2(2α)) - 2sinαsin2α + (cosαcos^2(4α) - sinαsin^2(4α)) - 2sinαsin4α

Упростим выражение: cosα + cosα - sinαsin^2(2α) - 2sinαsin2α + cosα - sinαsin^2(4α) - 2sinαsin4α

Шаг 8: Преобразование знаменателя

Раскроем скобки в знаменателе: 2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α = 2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Упростим выражение: 2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Шаг 9: Преобразование числителя и знаменателя

Теперь, заменим sin^2(2α) на 1 - cos^2(2α) и sin^2(4α) на 1 - cos^2(4α): cosα + cosα - sinα(1 - cos^2(2α)) - 2sinαsin2α + cosα - sinα(1 - cos^2(4α)) - 2sinαsin4α / 2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Упростим выражение: 2cosα - sinα + sinαcos^2(2α) - 2sinαsin2α + cosα + sinαcos^2(4α) - 2sinαsin4α / 2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4α + sinαcos4α

Шаг 10: Преобразование числителя

Раскроем скобки в числителе: 2cosα - sinα + sinαcos^2(2α) - 2sinαsin2α + cosα + sinαcos^2(4α) - 2sinαsin4α = 2cosα - sinα + sinαcos^2(2α) - 2sinαsin2α + cosα + sinαcos^2(4α) - 2sinαsin4α

Упростим выражение: 2cosα - sinα + sinαcos^2(2α) - 2sinαsin2α + cosα + sinαcos^2(4α) - 2sinαsin4α

Шаг 11: Преобразование знаменателя

Упростим выражение в знаменателе: **2sinα + 2sinαcos2α + 2sin2αcos2α + cosαsin4