Question

При каких значениях а неравенство ax^2+4x+а+3<0 выполняется при всех действительных значений x.

Answer 1

При каких значениях $a$ неравенство $ax^{2} + 4x + a + 3 < 0$ выполняется при всех действительных значениях $x?$

Answer 2

Для того чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях x, уравнение квадратного трёхчлена ax^2 + 4x + a + 3 = 0 должно иметь отрицательный дискриминант и не иметь корней. Дискриминант квадратного трёхчлена вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

Для данного неравенства, коэффициенты равны a = a, b = 4 и c = a + 3. Подставим их в формулу дискриминанта:

D = 4^2 - 4(a)(a + 3) = 16 - 4a^2 - 12a = -4a^2 - 12a + 16

Так как нам требуется отрицательный дискриминант, необходимо найти значения a, при которых выражение -4a^2 - 12a + 16 < 0.

Следующим шагом решим неравенство -4a^2 - 12a + 16 < 0. Можно упростить его, поделив на -4, чтобы коэффициент при квадрате был положительным:

a^2 + 3a - 4 < 0

Факторизуем его, найдя два числа, которые умножаются, дают -4, а при сложении дают 3:

(a - 1)(a + 4) < 0

Рассмотрим теперь интервалы значений a, при которых это неравенство выполняется:

1. a - 1 < 0 и a + 4 > 0: a < 1 и a > -4

2. a - 1 > 0 и a + 4 < 0: a > 1 и a < -4

Таким образом, неравенство ax^2 + 4x + a + 3 < 0 выполняется при всех действительных значениях x при a < -4 и a > 1.