Question

Помогите пожалуйста, отмечу лучшее с объяснением. Даю 40 При каких а уравнение х^2(х-1)/(х-1) = а имеет один корень

Answer 1

Ответ:

a = 0

Объяснение:

Преобразуем выражение:

$\frac{x^2(x-1)}{x-1} = a$

При x = 1 решений нет, так как дробь не определена. При x ≠ 1 можем сократить на (x-1) тогда:

$x^2 = a$

$x = \pm \sqrt{a}$

Один корень у уравнения будет, если $- \sqrt{a} = \sqrt{a}$, а это возможно только при a = 0

Answer 2

Для уравнения $\frac{x^2(x-1)}{x-1} = a$ с условием наличия одного корня, мы должны учесть два случая.

1. Когда $x-1 \neq 0$: В этом случае, домножим обе части уравнения на $x-1$, чтобы избавиться от знаменателя: $x^2(x-1) = a(x-1)$ Раскрывая скобки, получаем: $x^3 - x^2 = ax - a$ Перенесем все термины в левую часть: $x^3 - x^2 - ax + a = 0$ Теперь мы должны найти значение параметра $a$, при котором это уравнение имеет один корень.

2. Когда $x-1 = 0$: В этом случае, знаменатель становится равным нулю, что приводит к делению на ноль. Таким образом, это значение $x = 1$ не будет учитываться в уравнении.

Теперь давайте рассмотрим каждый случай подробнее:

1. Когда $x-1 \neq 0$: Уравнение $x^3 - x^2 - ax + a = 0$ имеет один корень, если его график касается оси абсцисс (x-оси) в одной точке. Это происходит, когда у него есть двойной корень. Это значит, что его производная также должна иметь корень в этой точке. Дифференцируем уравнение по $x$: $3x^2 - 2x - a = 0$ Найдем корни этого уравнения: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-a)}}{2(3)}$ Упрощая: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12a}}{6}$ Это уравнение имеет два корня. Чтобы обеспечить наличие одного корня, дискриминант должен быть равен нулю: $4 + 12a = 0$ $12a = -4$ $a = -\frac{1}{3}$

2. Когда $x-1 = 0$: Как упоминалось ранее, этот случай не учитывается, так как приводит к делению на ноль.

Таким образом, значение параметра $a$, при котором уравнение имеет один корень, равно $a = -\frac{1}{3}$.