Question

Y=-x^4+32x^2+18 Знайти точки екстремума​

Answer 1

Ответ:

Найдём критические точки функции   $\displaystyle\bf y=-x^4+32x^2+18\ ,\ \ x\in R\ .$  

Для этого производную функции приравняем 0 .

$\bf y'=-4x^3+32\cdot 2x=-4x\cdot (x^2-16)=-4x(x-4)(x+4)=0\\\\x_1=0\ ,\ x_2=-4\ ,\ x_3=4$

Вычислим знаки производной на промежутках .

Знаки:    $\bf ---(-4)++++(0)---(4)+++$

Точки экстремума:

$\bf x_{min}=-4\ ,\ x_{max}=0\ ,\ x_{min}=4$

$\bf \Big(\ y(-4)=274\ ,\ \ y(0)=18\ ,\ \ y(4)=274\ \Big)$  

Answer 2

Щоб знайти точки екстремума функції Y = -x^4 + 32x^2 + 18, спочатку обчислимо похідну функції та прирівняємо її до нуля:

Y' = -4x^3 + 64x = 0

Факторизуємо це рівняння:

x(-4x^2 + 64) = 0

Знаходимо два розв'язки:

1. x = 0

2. -4x^2 + 64 = 0 -4x^2 = -64 x^2 = 16 x = ±4

Таким чином, отримали три значення x: x = 0, x = 4, x = -4.

Тепер підставимо ці значення в початкову функцію, щоб знайти відповідні значення Y:

1. При x = 0: Y = -(0)^4 + 32(0)^2 + 18 = 18

2. При x = 4: Y = -(4)^4 + 32(4)^2 + 18 = -256 + 512 + 18 = 274

3. При x = -4: Y = -(-4)^4 + 32(-4)^2 + 18 = -256 + 512 + 18 = 274

Отже, отримали три точки екстремума: (0, 18), (4, 274), (-4, 274). Перша точка є мінімумом, а дві інші - максимумами функції Y.