Question

Y=x^3-1.5x^2-6x+1 знайти зростання або спаду функції. точки екстремума

Answer 1

1. Знаходимо область визначення функції

D(y) = R - Всі дійсні числа.

2. Знаходимо похідну функції

$y'=(x^3)'-1.5(x^2)'-6(x)'+(1)'=3x^2-1.5*2x-6*1+0= \\ =3x^2-3x-6$

3.  Похідна дорівнює нулю

$3x^2-3x-6=0 \\ 3(x^2-x-2)=0 \\ x^2-x-2=0 \\ a=1;b=-1;c=-2 \\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9 \\ \sqrt{D}=3 \\ x_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{1+3}{2} =2 \\ x_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{1-3}{2} =-1$

4. Проміжок (дивитися внизу)

Відповідь: Зростає на проміжку $(-\infty;-1)$ и  $(2;+\infty)$ , Спадає на проміжку - $(-1;2)$, Точки екстремуми: $x_m_i_n=-1$ и $x_m_a_x=2$.

Answer 2

Для даної функції Y = x^3 - 1.5x^2 - 6x + 1, ми можемо визначити зростання або спад функції та точки екстремума, використовуючи похідну.

Зростання або спад функції

Щоб визначити, коли функція зростає або спадає, ми можемо аналізувати знак похідної функції. Знак похідної вказує на напрямок зміни функції.

1. Обчислення похідної функції Y по відношенню до x:

Y' = dY/dx = 3x^2 - 3x - 6

2. Знайти критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує:

3x^2 - 3x - 6 = 0

Можна вирішити це квадратне рівняння, використовуючи факторизацію, квадратичну формулу або графічний метод. Після вирішення цього рівняння, ми отримуємо критичні точки, наприклад, x = -1 та x = 2.

3. Перевірити знак похідної на інтервалах між критичними точками та за їхніми межами. Для цього можна взяти будь-яку точку на кожному інтервалі та підставити її в похідну. Якщо похідна більше нуля, то функція зростає, якщо менше нуля - спадає.

Наприклад: - Візьмемо точку x = -2, яка належить інтервалу (-∞, -1): Підставляємо x = -2 в похідну Y': Y'(-2) = 3*(-2)^2 - 3*(-2) - 6 = 18 > 0. Отже, на цьому інтервалі функція зростає. - Візьмемо точку x = 0, яка належить інтервалу (-1, 2): Підставляємо x = 0 в похідну Y': Y'(0) = 3*0^2 - 3*0 - 6 = -6 < 0. Отже, на цьому інтервалі функція спадає. - Візьмемо точку x = 3, яка належить інтервалу (2, ∞): Підставляємо x = 3 в похідну Y': Y'(3) = 3*3^2 - 3*3 - 6 = 12 > 0. Отже, на цьому інтервалі функція зростає.

Таким чином, функція зростає на інтервалах (-∞, -1) і (2, ∞), і спадає на інтервалі (-1, 2).

Точки екстремума

Точки екстремума - це точки, де функція досягає локального максимуму або мінімуму.

1. Визначимо значення функції в критичних точках, а також на кінцях інтервалів:

Для x = -1: Y(-1) = (-1)^3 - 1.5*(-1)^2 - 6*(-1) + 1 = -6.5 Для x = 2: Y(2) = 2^3 - 1.5*2^2 - 6*2 + 1 = -11

2. Порівняємо значення функції в критичних точках та на кінцях інтервалів, щоб визначити, чи є ці точки екстремумами.

На інтервалі (-∞, -1): Y(-2) = -6.5 < Y(-1) = -6.5, тому точка x = -1 є мінімумом. На інтервалі (-1, 2): Y(0) = 1 > Y(2) = -11, тому точка x = 2 є максимумом.

Отже, точка (-1, -6.5) є локальним мінімумом, а точка (2, -11) є локальним максимумом для функції Y = x^3 - 1.5x^2 - 6x + 1.