Question

Вектори a+b і a-b перпендикулярні

Answer 1

скалярное произведение равно |a|^2-|b|^2

Векторы перпендикуляпны только если |a|=|b|

Answer 2

Вектори a+b і a-b будуть перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Скалярний добуток двох векторів a і b визначається за формулою:

a ⋅ b = |a| |b| cos(θ),

де |a| і |b| - довжини векторів a і b відповідно, а θ - кут між ними.

Якщо вектори a+b і a-b перпендикулярні, то їх скалярний добуток повинен бути рівний нулю:

(a+b) ⋅ (a-b) = 0.

Розглянемо це вираз:

(a+b) ⋅ (a-b) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b.

Застосуємо властивості скалярного добутку:

a ⋅ a = |a|^2 (квадрат довжини вектора a), a ⋅ b = b ⋅ a (комутативність скалярного добутку), b ⋅ b = |b|^2 (квадрат довжини вектора b).

Тоді вираз можна переписати так:

|a|^2 - a ⋅ b + b ⋅ a - |b|^2 = 0.

Але a ⋅ b = b ⋅ a (комутативність скалярного добутку), тому отримуємо:

|a|^2 - 2(a ⋅ b) - |b|^2 = 0.

Якщо цей рівняння виконується, то вектори a+b і a-b будуть перпендикулярні.