Question

Решите систему неравенств 4x^2-x>0 x^2-3x-28<0

Answer 1

Решение.

$\left\{\begin{array}{l}4x^2-x > 0\\x^2-3x-28 < 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x(4x-1) > 0\\x^2-3x-28 < 0\end{array}\right$  

Решим каждое из неравенств.

$x\, (4x-1) > 0$  ,  нули функции  х=0 и  х=1/4 , график - парабола, ветви вверх, значит решением неравенства будут значения  х , принадлежащих интервалу  $x\in (-\infty ;0\, )\cup (\, \frac{1}{4}\, ;+\infty )$  .

$x^2-3x-28 < 0\ \ ,\ \ x_1=-4\ ,\ x_2=7$   (теор. Виета)  ⇒   график - парабола, ветви вверх, значит решением неравенства будут значения  х , принадлежащих интервалу  $x\in (-4\, ;\, 7\, )$  .

$\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;0\, )\cup (\, \frac{1}{4}\, ;+\infty )\\x\in (-4\, ;\, 7\ )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ x\in (-4\, ;\, 0\ )\cup (\ \frac{1}{4}\, ;\, 7\ )$

Ответ:   $x\in (-4\, ;\, 0\ )\cup (\ \frac{1}{4}\, ;\, 7\ )\ .$

Answer 2

Давайте решим систему неравенств по отдельности.

1. 4x^2 - x > 0: Для начала найдем корни данного квадратного уравнения: 4x^2 - x = 0. Факторизуем его: x(4x - 1) = 0. Таким образом, имеем два корня: x = 0 и 4x - 1 = 0, откуда x = 1/4.

Теперь построим знаки на числовой прямой, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется: -∞ 0 1/4 +∞ ---o----|----o---

Так как у нас неравенство > 0, то нам нужно определить интервалы, где функция положительна. Из графика видно, что это интервалы (-∞, 0) и (1/4, +∞).

2. x^2 - 3x - 28 < 0: Также найдем корни этого квадратного уравнения: x^2 - 3x - 28 = 0. Факторизуем его: (x - 7)(x + 4) = 0. Таким образом, имеем два корня: x - 7 = 0, откуда x = 7, и x + 4 = 0, откуда x = -4.

Построим знаки на числовой прямой, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется: -∞ -4 7 +∞ ----o-----|----o---

Так как у нас неравенство < 0, то нам нужно определить интервалы, где функция отрицательна. Из графика видно, что это интервал (-4, 7).

Итак, система неравенств имеет два решения:

1. x принадлежит интервалу (-∞, 0) объединенному с (1/4, +∞).
2. x принадлежит интервалу (-4, 7).

Таким образом, общее решение системы неравенств: x принадлежит интервалу (-∞, 0) объединенному с (1/4, +∞), за исключением интервала (-4, 7).