Question

На колі позначили 22 точки. Скільки існуе шестикутник iз вершинами в позначених точках?

Answer 1

Умова «на колі» гарантує, що жодні три точки не належать одній прямій.

Першу вершину можна обрати 22 способами, другу 21 способом, і так далі, шосту — 22–6=16 способами. Оскільки порядок вибору вершин не важливий, то ми маємо справу зі сполуками з 22 елементів по 6:

$C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k!) \cdot k!}=C_{22}^6= \dfrac{22!}{(22-6)! \cdot 6!}=\dfrac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{6!}=\\=\dfrac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{720}=74613.$

Відповідь: 74613 шестикутників.

Answer 2

Щоб знайти кількість шестикутників, які можна утворити з 22 точок, ми можемо використати формулу комбінаторики. Кількість шестикутників буде відповідати кількості можливих комбінацій 6 вершин зі 22 точок.

Застосуємо формулу комбінацій: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), де n - кількість елементів, k - кількість елементів, які вибираємо.

У цьому випадку n = 22 (кількість точок), а k = 6 (кількість вершин у шестикутнику). Підставляємо ці значення до формули:

C(22, 6) = 22! / (6!(22-6)!) = 22! / (6!16!)

Давайте обчислимо це значення:

22! = 22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17 * 16!

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Підставимо значення:

C(22, 6) = (22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17 * 16!) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 16!) = (22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Після спрощення ми отримаємо:

C(22, 6) = 22 * 7 * 19 * 17 = 522,900

Тому існує 522,900 різних шестикутників, які можна утворити з 22 позначених точок.