Question

Розв’яжіть рівняння 6*25^х -5*10^х -4^х=0

Answer 1

$6\cdot 25^x -5\cdot10^x -4^x=0$

Разделим обе части уравнения на $4^x$:

$\dfrac{6\cdot 25^x}{4^x} -\dfrac{5\cdot10^x}{4^x} -\dfrac{4^x}{4^x} =\dfrac{0}{4^x}$

$6\cdot\left(\dfrac{25}{4}\right)^x -5\cdot\left(\dfrac{10}{4}\right)^x -1=0$

$6\cdot\left(\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right)^x -5\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)^x -1=0$

$6\cdot\left(\left(\dfrac{5}{2}\right)^x\right)^2 -5\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)^x -1=0$

Получено квадратное уравнение относительно $\left(\dfrac{5}{2}\right)^x$. Так как сумма его коэффициентов равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй - равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

Для первого случая получим:

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=1$

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=\left(\dfrac{5}{2}\right)^0$

$x=0$

Для второго случая получим:

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=-\dfrac{1}{6}$

Такое уравнение не имеет корней, так как показательная функция может принимать только положительные значения.

Таким образом корень у исходного уравнения один: х=0.

Ответ: 0

Answer 2

Для вирішення цього рівняння розкриємо степені чисел:

6 * 25^x - 5 * 10^x - 4^x = 0

Перепишемо 25 як 5^2 та 10 як 2 * 5:

6 * (5^2)^x - 5 * (2 * 5)^x - 4^x = 0

Спростимо вирази:

6 * 5^(2x) - 5 * 2^x * 5^x - 4^x = 0

Тепер помножимо другий доданок на 2/2 для полегшення розкладу:

6 * 5^(2x) - 10 * 2^x * 5^x - 4^x = 0

Зараз ми маємо кілька базисних чисел (5, 2 та 4). Спробуємо виділити спільний множник:

5^x * 2^x * (6 * 5^x - 10 * 2^x - 4^x) = 0

Тепер ми маємо два множники:

1. 5^x * 2^x = 0
2. 6 * 5^x - 10 * 2^x - 4^x = 0

Розглянемо їх окремо:

1. 5^x * 2^x = 0

Цей множник буде дорівнювати нулю, якщо або 5^x = 0, або 2^x = 0. Оскільки жодне число не може бути піднесене до нульового степеня і дорівнювати нулю, цей множник немає розв'язків.

2. 6 * 5^x - 10 * 2^x - 4^x = 0

Цей множник є більш складним, і його не можна розкласти на окремі множники. Отже, ми не можемо вирішити це рівняння аналітично, використовуючи алгебраїчні методи.

Для знаходження наближеного чисельного розв'язку можна скористатися чисельним методом, таким як метод Ньютона або метод бісекції.