Question

Помогите пожалуйста!!! Очень прошу. Геометрическая прогрессия b1, b2,... такова, что b22 = 2tg a, b26 = 2sin a для некоторого острого угла a. Найдите номер n, для которого bn = sin2a

Answer 1

Формулы n-ого члена геометрической прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$

$b_n=b_kq^{n-k}$

При умножении n-ого члена на k-ую степень знаменателя получим член прогрессии с номером (n+k):

$b_nq^k=b_{n+k}$

По условию известно:

$b_{22}=2\,\mathrm{tg}\,a$

$b_{26}=2\sin a$

Тогда:

$b_{26}=b_{22}q^4$

$2\sin a=2\,\mathrm{tg}\,a\cdot q^4$

Распишем тангенс как отношение синуса к косинусу:

$2\sin a=\dfrac{2\sin a}{\cos a} \cdot q^4$

Учитывая, что члены геометрической прогрессии - ненулевые числа, разделим обе части равенства на $2\sin a$:

$1=\dfrac{1}{\cos a} \cdot q^4$

Получим:

$q^4=\cos a$

Теперь рассмотрим член, номер которого нужно найти:

$b_n=\sin2a$

Распишем по формуле синуса двойного угла:

$b_n=2\sin a\cos a$

Заметим, что $2\sin a=b_{26}$, а $\cos a=q^4$. Тогда:

$b_n=b_{26}q^4=b_{26+4}=b_{30}$

Таким образом, номер искомого члена равен 30.

Ответ: 30

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства геометрической прогрессии и тригонометрические тождества.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен b₁, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда мы можем выразить члены прогрессии следующим образом:

b₂ = b₁ * q b₃ = b₁ * q² ... bₙ = b₁ * q^(n-1)

Из условия задачи у нас есть следующие равенства:

b₂₂ = 2tg a b₂₆ = 2sin a

Подставим эти значения в формулы для членов прогрессии:

b₁ * q^(₂₂-1) = 2tg a ... (1) b₁ * q^(₂₆-1) = 2sin a ... (2)

Заметим, что tg a = sin a / cos a. Также, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin²a + cos²a = 1.

Используя эти свойства, преобразуем уравнение (1):

b₁ * q^(₂₂-1) = 2 * (sin a / cos a) b₁ * q^(₂₂-1) = 2 * sin a / cos a b₁ * q^(₂₂-1) = 2 * sin a * (1 / cos a) b₁ * q^(₂₂-1) = 2 * sin a * sec a ... (3)

Теперь преобразуем уравнение (2):

b₁ * q^(₂₆-1) = 2 * sin a

Умножим это уравнение на (1 / cos a):

b₁ * q^(₂₆-1) * (1 / cos a) = 2 * sin a * (1 / cos a) b₁ * q^(₂₆-1) * (1 / cos a) = 2 * sin a * sec a ... (4)

Из уравнений (3) и (4) видно, что левые части обоих уравнений совпадают, а значит, правые части тоже должны быть равными:

2 * sin a * sec a = 2 * sin a * sec a

Теперь мы можем сократить обе части на 2 * sin a:

sec a = sec a

Таким образом, получаем, что угол a не зависит от членов прогрессии и остаётся неопределенным.

То есть, для любого значения a, такого что sec a = sec a, номер n, для которого bₙ = sin²a, также будет неопределенным.