Question

Докажите что уравнение cos^2 2x-sin^2 2x + cos3x=5 не имеет корней

Answer 1

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$\cos^2 2x-\sin^2 2x + \cos3x=5$

В левой части применим формулу косинуса двойного угла:

$\cos4x+ \cos3x=5$

Вспомним, что косинус принимает свои значениях из отрезка от -1 до 1. То есть:

$-1\leqslant \cos 4x\leqslant 1$

$-1\leqslant \cos 3x\leqslant 1$

Сложим почленно эти неравенства:

$-1-1\leqslant \cos 4x+\cos3x\leqslant 1+1$

$-2\leqslant \cos 4x+\cos3x\leqslant 2$

Таким образом, левая часть уравнения может принимать значение из отрезка от -2 до 2, соответственно она не может принимать значение 5. Значит, уравнение не имеет корней.

Answer 2

Для начала, давайте приведем данное уравнение к более простому виду, используя тригонометрические тождества.

Уравнение: cos^2(2x) - sin^2(2x) + cos(3x) = 5

Мы можем использовать формулу двойного угла для cos^2(2x) и sin^2(2x):

cos^2(2x) - sin^2(2x) = cos(4x)

Теперь уравнение принимает следующий вид: cos(4x) + cos(3x) = 5.

Для дальнейшего решения уравнения, давайте воспользуемся графиками функций и анализом их пересечений.

Функции cos(4x) и cos(3x) являются периодическими функциями с периодом 2π. Их графики имеют форму колебательной волны, варьирующейся от -1 до 1.

Поскольку мы ищем решения уравнения, при которых cos(4x) + cos(3x) = 5, нужно найти точку пересечения графика функции y = cos(4x) + cos(3x) с прямой y = 5.

Однако, при анализе графиков функций cos(4x) и cos(3x) можно заметить, что их сумма никогда не достигает значения 5. Наибольшее значение, которое может принимать cos(4x) + cos(3x), составляет 2.

Таким образом, уравнение cos^2(2x) - sin^2(2x) + cos(3x) = 5 не имеет корней, так как его график никогда не пересекает прямую y = 5.