Question

Знайди первісну функції f(x), графік якої проходить через точку (x0;y0). 1)f(x)=2x-6, x0=2, y0=-3; 2)f(x)=8x³-5, x0=1, у0=4; 3)f(x)=4x³-9x²+4x-5, x0 = 2, y0=-8.

Answer 1

Знайди первісну функції f(x), графік якої проходить через точку (x₀;y₀).

1)f(x)=2x-6, x₀=2, y₀=-3;

2)f(x)=8x³-5, x₀=1, у₀=4;

3)f(x)=4x³-9x²+4x-5, x₀ = 2, y₀=-8.

Объяснение:

1) F(x)=2x²/2-6x+c; F(x)=x²-6x+c;

подставим вместо х=2, вместо F(x)=-3 для нахождения с, затем подставим с, получим ответ. Все однотипные задания. проверяется формула первообразной функции  хⁿ, она равна (хⁿ⁺¹/(n+1))+с, где с - константа.

-3=2²-6*2+с, откуда с=-3-4+12; с=5;

Ответ F(x)=x²-6x+5

2)F(x)=8x⁴/4-5x+c; F(x)=2x⁴-5x+c;

4=2*1⁴-5*1+c, откуда с=4-2+5; с=7;

Ответ F(x)=2x⁴-5x+7;

3)F(x)=4x⁴/4-9x³/3+4х²/2-5х+с;  F(x)=x⁴-3x³+2х²-5х+с;

-8=2⁴-3*2³+2*2²-5*2+с, откуда с=-8-16+24-8+10; с=2

Ответ F(x)=x⁴-3x³+2х²-5х+2;

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію f(x), графік якої проходить через задану точку (x0, y0), необхідно інтегрувати функцію по змінній x та додати константу інтегрування C. Отже, виконаємо ці кроки для кожної задачі:

1. f(x) = 2x - 6, x0 = 2, y0 = -3:

Інтегруємо функцію f(x): ∫(2x - 6) dx = x^2 - 6x + C

Застосуємо значення x0 = 2 та y0 = -3 для знаходження константи C: -3 = (2^2) - 6(2) + C -3 = 4 - 12 + C -3 = -8 + C C = 5

Отримуємо первісну функцію: f(x) = x^2 - 6x + 5

2. f(x) = 8x³ - 5, x0 = 1, у0 = 4:

Інтегруємо функцію f(x): ∫(8x³ - 5) dx = 2x^4 - 5x + C

Застосуємо значення x0 = 1 та y0 = 4 для знаходження константи C: 4 = 2(1^4) - 5(1) + C 4 = 2 - 5 + C 4 = -3 + C C = 7

Отримуємо первісну функцію: f(x) = 2x^4 - 5x + 7

3. f(x) = 4x³ - 9x² + 4x - 5, x0 = 2, y0 = -8:

Інтегруємо функцію f(x): ∫(4x³ - 9x² + 4x - 5) dx = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + C

Застосуємо значення x0 = 2 та y0 = -8 для знаходження константи C: -8 = (2^4) - 3(2^3) + 2(2^2) - 5(2) + C -8 = 16 - 24 + 8 - 10 + C -8 = -10 + C C = 2

Отримуємо первісну функцію: f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 2

Отже, первісні функції для заданих функцій і точок є:

1. f(x) = x^2 - 6x + 5
2. f(x) = 2