Question

При яких цілих значеннях а рівняння має розвязки?sinx=a^2-a-1​

Answer 1

Діапазон значень sin x лежить в межах від -1 до 1, а це означає, що для того, щоб дане рівняння мало розв'язки, значення a^2 - a - 1 також повинно лежати в цьому діапазоні.

Щоб знайти значення a, для яких це вірно, можна скласти наступну нерівність:

-1 ≤ a^2 - a - 1 ≤ 1

Спростивши цю нерівність, отримаємо:

0 ≤ a^2 - a ≤ 2

Далі ми можемо знайти корені квадратного рівняння a^2 - a = 0:

a(a - 1) = 0

Це дає нам розв'язки a = 0 та a = 1.

Тепер нам потрібно перевірити, чи виконується нерівність для цих значень a:

Для a = 0 маємо 0^2 - 0 ≤ 2, що вірно.

Для a = 1 маємо 1^2 - 1 ≤ 2, що вірно.

Отже, рівняння sin x = a^2 - a - 1 має розв'язки для a = 0 і a = 1.

Answer 2

Для з'ясування цілих значень а, при яких рівняння має розв'язки, спершу розглянемо саме рівняння:

sin(x) = a^2 - a - 1

Функція синуса приймає значення від -1 до 1. Тому, щоб рівняння мало розв'язки, a^2 - a - 1 повинно також приймати значення в цьому діапазоні. Ми можемо розв'язати цю нерівність, використовуючи квадратне рівняння:

a^2 - a - 1 ≤ 1

a^2 - a - 2 ≤ 0

Тепер нам потрібно знайти цілі значення а, для яких нерівність a^2 - a - 2 ≤ 0 справедлива. Ми можемо розкласти ліву частину нерівності на множники:

(a - 2)(a + 1) ≤ 0

Тепер ми можемо використовувати метод дослідження знаку, розташовуючи знаки множників на числовій прямій:

-1 2 ─┼────────┼─── + -

Таким чином, ми бачимо, що нерівність a^2 - a - 2 ≤ 0 справедлива для значень а, що знаходяться між -1 і 2, включаючи самі ці значення.

Отже, рівняння sin(x) = a^2 - a - 1 має розв'язки для цілих значень а, які належать інтервалу [-1, 2].