Question

Допоможіть будь ласка 1) cos(2x+п/4)≤√2/2 2)ctg(п/3-х/2)>√3

Answer 1

Объяснение:

1.Найдём значения x, удовлетворяющие неравенству:

cos(2x+π/4) ≤ √2/2

Учитывая, что cos(π/4) = √2/2, можем переписать неравенство в виде:

cos(2x+π/4) ≤ cos(π/4)

Следовательно,

2x+π/4 ∈ [2kπ-π/4, 2kπ+π/4] для любого целого k.

Решая неравенство, получим:

2kπ - π/4 ≤ 2x + π/4 ≤ 2kπ + π/4

2kπ - π/2 ≤ 2x ≤ 2kπ

kπ - π/4 ≤ x ≤ kπ/2

Ответ: x ∈ [kπ - π/4, kπ/2] для любого целого k.

2.Найдём значения x, удовлетворяющие неравенству:

ctg(π/3 - x/2) > √3

Перепишем ctg в терминах tg:

ctg(π/3 - x/2) = 1/tg(π/3 - x/2) = 1/(√3/tan(x/2) - 1/tan(x/2))

Учитывая, что tg(π/3) = √3, можем переписать неравенство в виде:

1/(√3/tan(x/2) - 1/tan(x/2)) > √3

Разделим обе части неравенства на √3:

1/(tan(x/2)/√3 - cot(x/2)) > 1

Перепишем в терминах tg:

1/(tg(x/2) - ctg(x/2)√3) > 1

Вынесем знаменатель за скобку и упростим:

tg(x/2) - ctg(x/2)√3 < -1

Подставляем tg = sin/cos, ctg = cos/sin и приводим подобные:

(sin(x) - √3 cos(x))/sin(x) < -2

sin(x) - √3 cos(x) > 2 sin(x)

sin(x) + 2 cos(x) < 0

Решим уравнение:

tg(x) < -2

x ∈ (π/2 + kπ - arctg(2), π + kπ - arctg(2)), где k - любое целое число.

Ответ: x ∈ (π/2 + kπ - arctg(2), π + kπ - arctg(2)) для любого целого k.

Answer 2

Давайте розглянемо кожне рівняння окремо.

1. cos(2x + π/4) ≤ √2/2:

Ми знаємо, що cos(π/4) = √2/2. Замінюємо це значення:

cos(2x + π/4) ≤ cos(π/4)

Так як косинус є монотонно спадною функцією на інтервалі [0, π], ми можемо просто порівняти аргументи:

2x + π/4 ≤ π/4

2x ≤ 0

x ≤ 0/2

x ≤ 0

Тому розв'язком даного нерівняння є x ≤ 0.

2. ctg(π/3 - x/2) > √3:

Спочатку знаходимо ctg(π/3):

ctg(π/3) = 1/tan(π/3) = 1/√3

Замінюємо це значення в нерівності:

1/tan(π/3 - x/2) > √3

Тепер перетворимо цей вираз з використанням тригонометричних тотожностей. Звертаємось до тотожності тангенса різниці кутів:

tan(π/3 - x/2) = (tan(π/3) - tan(x/2))/(1 + tan(π/3) * tan(x/2))

Отримуємо:

1/((tan(π/3) - tan(x/2))/(1 + tan(π/3) * tan(x/2))) > √3

Далі спрощуємо:

(1 + tan(π/3) * tan(x/2))/(tan(π/3) - tan(x/2)) > √3

Заміняємо значення tan(π/3):

(1 + (1/√3) * tan(x/2))/(1/√3 - tan(x/2)) > √3

Можна помножити обидві частини нерівності на знаменник (1/√3 - tan(x/2)):

(1 + (1/√3) * tan(x/2)) * (1/√3 - tan(x/2)) > √3 * (1/√3 - tan(x/2))

Спрощуємо:

(1 - tan^2(x/2))/(√3 - √3 * tan(x/2)) > 1 - tan(x/2)

Оскільки tan^2(x/2) = 1 - cos^2(x/2), можемо замінити це значення:

(1 - (1 - cos^2(x/2)))/(√3 - √3 * tan(x/2)) > 1 - tan(x/2)

Оскільки cos^2(x/2) =