Question

Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t)=2t^2+t(м/с).Знайдіть шлях пройденим тілом за проміжок часу від t=1 до t=3 с.

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти шлях пройдений тілом за проміжок часу від t=1 до t=3 секунд, ми повинні інтегрувати швидкість від t=1 до t=3.

Швидкість тіла:

v(t) = 2t^2 + t (м/с)

Інтегруючи швидкість, ми отримаємо рівняння для шляху (s):

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(2t^2 + t)dt

s(t) = (2/3)t^3 + (1/2)t^2 + C

де C - це константа інтегрування.

Щоб визначити значення C, ми можемо використовувати початкові умови. За умовами, коли t = 1, s = 0, ми можемо записати:

s(1) = 0 = (2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 + C

C = -5/6

Тому рівняння для шляху становить:

s(t) = (2/3)t^3 + (1/2)t^2 - 5/6

Шлях, який пройде тіло за проміжок часу від t=1 до t=3 секунд:

s(3) - s(1) = [(2/3)(3)^3 + (1/2)(3)^2 - 5/6] - [(2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 - 5/6]

s(3) - s(1) = 22.5 - 1.1667

s(3) - s(1) = 21.3333 метрів

Отже, тіло пройде шлях довжиною 21.3333 метри за проміжок часу від t=1 до t=3с

Answer 2

Щоб знайти шлях, пройдений тілом за заданий проміжок часу, ми повинні інтегрувати функцію швидкості від t = 1 до t = 3.

Інтегруємо функцію швидкості, щоб знайти функцію шляху:

s(t) = ∫v(t) dt

Для цього використовуємо правила інтегрування:

s(t) = ∫(2t^2 + t) dt = (2/3)t^3 + (1/2)t^2 + C

де C - константа інтегрування.

Тепер обчислимо значення шляху на кінцевих межах [1, 3]:

s(3) = (2/3)(3)^3 + (1/2)(3)^2 + C = (2/3)(27) + (1/2)(9) + C = 18 + 4.5 + C = 22.5 + C

s(1) = (2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 + C = (2/3)(1) + (1/2)(1) + C = 2/3 + 1/2 + C = 6/6 + 3/6 + C = 9/6 + C = 3/2 + C

Шлях, пройдений тілом за проміжок часу від t = 1 до t = 3, можна обчислити віднявши значення шляху на межах:

s(3) - s(1) = (22.5 + C) - (3/2 + C) = 22.5 - 3/2 = 45/2 - 3/2 = 42/2 = 21 м

Отже, тіло пройшло 21 м за проміжок часу від t = 1 до t = 3 с.