Question

Докажите, что значение выражения делится на 60: 41³+19³Помогите Срочнооо!!!??​

Answer 1

Ответ:

41³+19³ = (41+19) (41²-41*19+19²) = 60 (41²-41*19+19²)

Answer 2

Чтобы доказать, что значение выражения $41^3 + 19^3$ делится на 60, мы можем разложить каждое слагаемое по модулю 60 и затем сложить полученные остатки.

Давайте посмотрим на остатки при делении $41^3$ на 60. Мы можем разложить $41^3$ следующим образом:

$41^3 = (40 + 1)^3 = 40^3 + 3 \cdot 40^2 \cdot 1 + 3 \cdot 40 \cdot 1^2 + 1^3$

Вспомним, что $40 \mod 60 = 40$, а $1 \mod 60 = 1$. Теперь посчитаем остатки при делении каждого слагаемого на 60:

$40^3 \mod 60 = (40 \mod 60)^3 = 40^3 \mod 60 = 40$

$3 \cdot 40^2 \cdot 1 \mod 60 = 3 \cdot (40 \mod 60)^2 \cdot (1 \mod 60) = 3 \cdot 40^2 \cdot 1 \mod 60 = 3 \cdot 1600 \mod 60 = 4800 \mod 60 = 0$

$3 \cdot 40 \cdot 1^2 \mod 60 = 3 \cdot (40 \mod 60) \cdot (1 \mod 60) = 3 \cdot 40 \cdot 1 \mod 60 = 3 \cdot 40 \mod 60 = 120 \mod 60 = 0$

$1^3 \mod 60 = (1 \mod 60)^3 = 1^3 \mod 60 = 1$

Теперь сложим остатки: $40 + 0 + 0 + 1 = 41$.

Теперь посмотрим на остатки при делении $19^3$ на 60. Разложим $19^3$ следующим образом:

$19^3 = (20 - 1)^3 = 20^3 - 3 \cdot 20^2 \cdot 1 + 3 \cdot 20 \cdot 1^2 - 1^3$

Остатки при делении каждого слагаемого на 60:

$20^3 \mod 60 = (20 \mod 60)^3 = 20^3 \mod 60 = 20$

$-3 \cdot 20^2 \cdot 1 \mod 60 = -3 \cdot (20 \mod 60)^2 \cdot (1 \mod 60) = -3 \cdot 20^2 \cdot 1 \mod 60 = -3 \cdot 400 \mod 60 = -1200 \mod 60 = 0$

$3 \cdot 20 \cdot 1^2 \mod 60 = 3 \cdot (20 \mod 60) \cdot (1 \mod 60) = 3 \cdot 20 \cdot 1 \mod 60 = 3 \cdot 20 \mod 60 = 60 \mod 60 = 0$