Question

Розв'язати рівняння а) ( 4х+1)(4х-1)+(2х-3)²=5х(4х-11) б) у³-5у²-у+5=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a)

Почнемо розкриваючи дужки та спрощуючи вирази:

(4х+1)(4х-1)+(2х-3)² = 5х(4х-11)

16x² - 1 + 4x² - 12x + 9 = 20x² - 55x

20x² - 55x - 8x² + 12x - 10 = 0

12x² - 43x - 10 = 0

Тепер можна застосувати формулу для розв'язування квадратного рівняння:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

a = 12, b = -43, c = -10

x₁ = (-(-43) + √((-43)² - 412(-10))) / (212) ≈ 2.045 або

x₂ = (-(-43) - √((-43)² - 412*(-10))) / (2*12) ≈ -0.685

Таким чином, розв'язками рівняння є x₁ ≈ 2.045 та x₂ ≈ -0.685.

б)

Можна спробувати знайти раціональні корені застосовуючи раціональний кореневий теорему. Оскільки останній член рівняння дорівнює 5, можна перевірити, чи є 1 або -1 коренем:

u = 1: 1³ - 5·1² - 1 + 5 = 0 (не підходить)

u = -1: (-1)³ - 5·(-1)² + 1 + 5 = 0 (підходить)

Отже, (у + 1) є одним з множників рівняння. Застосуємо ділення многочленів, щоб знайти інші множники:

у² - 4у + 5

у + 1 | у³ - 5у² - у + 5

- у³ - у²

-----------

-4у² - у

+4у² + 4у

---------

3у + 5

Отже, множники рівняння є (у + 1)(у² - 4у + 5). Залишається розв'язати квадратне рівняння у² - 4у + 5 = 0:

у = (-(-4) ± √((-4)² - 4·1·5)) / (2·1) = (4 ± √(-4)) / 2

Так як дискримінант менше за нуль, то рівняння не має розв'язкі

Answer 2

а) Розв'яжемо рівняння (4х+1)(4х-1)+(2х-3)²=5х(4х-11) по крокам:

1. Розгорнемо дужки: (16х² - 1) + (4х² - 12х + 9) = 20х² - 55х

2. Зведемо подібні члени: 20х² - 1 - 55х = 20х² - 55х

3. Скоротимо 20х² з обох боків: -1 - 55х = -55х

4. Додамо 55х до обох боків: -1 = 0

Отримали неправдиве твердження -1 = 0. Тому рівняння а) не має розв'язків.

б) Розв'яжемо рівняння у³ - 5у² - у + 5 = 0:

У цьому випадку розумним рішенням є використання численних методів, наприклад методу Ньютона або методу ділення навпіл. Однак, як це є ручними обчисленнями, спробуємо знайти раціональні розв'язки спочатку.

Підставимо декілька значень у до рівняння та перевіримо, чи набуває воно значення 0:

При у = 1: 1³ - 5·1² - 1 + 5 = 0

Отримали 0. Тому у = 1 - один розв'язок.

Використаємо ділення навпіл для пошуку інших раціональних розв'язків.

Ділимо коефіцієнти рівняння на (у - 1):

у² + у - 5 = (у - 1)(у + 5) = 0

Отримали два розв'язки: у = 1 та у = -5.

Отже, рівняння б) має два розв'язки: у = 1 і у = -5.