Question

40 баллов! Найти разницу и тринадцатый член арифметической прогрессии, если a1=9 и сумма десяти первых членов равна - 15.

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

По условию:

$a_1=9;\ S_{10}=-15$

Распишем выражение для суммы первых 10 членов:

$\dfrac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=-15$

Подставим значение первого члена:

$\dfrac{2\cdot9+9d}{2}\cdot 10=-15$

$\dfrac{18+9d}{2}=-1.5$

$18+9d=-3$

$9d=-21$

$d=-\dfrac{21}{9} =-\dfrac{7}{3}$

Найдем 13-й член прогрессии:

$a_{13}=a_1+12d=9+12\cdot\left( -\dfrac{7}{3} \right)=9-\dfrac{12\cdot7}{3}=9-28=-19$

Ответ: $d=-\dfrac{7}{3};\ a_{13}=-19$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии.

Формула общего члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n - 1)d,

где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, n - порядковый номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

У нас дано, что a1 = 9 и Sn = -15 для первых 10 членов прогрессии.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых 10 членов: -15 = (10/2)(2*9 + (10 - 1)d) -15 = 5(18 + 9d) -15 = 90 + 45d 45d = -105 d = -105/45 d = -7/3

Теперь мы знаем разность прогрессии: d = -7/3.

Для нахождения разности арифметической прогрессии требуется найти a40 - a1.

Подставим известные значения в формулу общего члена прогрессии для a40: a40 = a1 + (40 - 1)d a40 = 9 + 39(-7/3) a40 = 9 - (273/3) a40 = 9 - 91 a40 = -82

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -82 - 9 = -91, а тринадцатый член прогрессии равен: a13 = a1 + (13 - 1)d a13 = 9 + 12(-7/3) a13 = 9 - (84/3) a13 = 9 - 28 a13 = -19.