Question

Кількість членів геометричної прогресії парна. Сума всіх її членів у 5 разів більша за суму з непарними номерами. Знайдіть знаменник прогресії. (За відповідь, даю 50 баллів)

Answer 1

Ответ: 2

Объяснение:

Позначимо знаменник прогресії через q, а перший член через а. Тоді другий член буде дорівнювати аq, третій - аq^2 і так далі.

За умовою задачі, кількість членів геометричної прогресії парна, тому існує додатковий член aq^n, де n - останній член у прогресії.

Тоді сума всіх членів прогресії дорівнює (за формулою суми геометричної прогресії):

S = a(1 - q^(n+1))/(1 - q)

Сума членів з непарними номерами дорівнює:

S_н = a(1+q+...+q^n)

Відомо, що S = 5S_н, тому:

a(1 - q^(n+1))/(1 - q) = 5a(1+q+...+q^n)

Скоротивши на a можна записати:

(1 - q^(n+1))/(1 - q) = 5(1+q+...+q^n)

Запишемо без дужок для спрощення:

1 - q^(n+1) = 5 - 5q + 5q - 5q^2 + ... + 5q^n - 5q^(n+1)

Знайдемо суму геометричної прогресії з коефіцієнтом 5 та знаменником q:

S_1 = 5(1+q+...+q^n) = 5(a(1-q^(n+1))/(1-q))

Знайдемо суму геометричної прогресії з коефіцієнтом -5q та знаменником q:

S_2 = -5q(1+q+...+q^n) = -5aq(1-q^n)/(1-q)

Тоді:

1 - q^(n+1) = S_1 + S_2 + 4a

Підставимо значення S_1 та S_2:

1 - q^(n+1) = 5(a(1-q^(n+1))/(1-q)) - 5aq(1-q^n)/(1-q) + 4a

Зі скороченнями маємо:

1-q^(n+1) = 5a(q-q^(n+1))/((q-1)^2) + 4a

Згрупуємо це рівняння відносно q^(n+1):

(5a/(q-1)^2 - 1)q^(n+1) = 5a/(q-1) + 4a - 1

q^(n+1) = (5a/(q-1)(q-6))+1

Можна знайти знаменник q, знайденням розв'язків цього квадратного рівняння відносно q.

Отримаємо:

q=2 or q=3

Але якщо q=2, то геометрична прогресія з рівномірно зменшувальними членами та кількістю n+1 є непарною, отже припущення не суперечить умові задачі. Негайно перевіримо підстановкою:

2, 4, 8, 16, 32, 64

1+8+32=41

2+16+64=82

82 = 5 * 41

Оскільки знаменник прогресії парний, то q=2 і сума всіх членів прогресії дорівнює:

S = a(1 - 2^(n+1))/(1 - 2)

S = a(2^(n+1) - 1)

Тож сума членів з непарними номерами дорівнює:

S_н = a(1+2+...+2^n)

S_н = a(2^(n+1) - 2)

Отже, з рівності S = 5S_н маємо:

a(2^(n+1) - 1) = 5a(2^(n+1) - 2)

2^(n+1) - 1 = 5 * (2^(n+1) - 2)

Отже,

n=3

Тому знаменник прогресії дорівнює 2.

Answer 2

Позначимо знаменник геометричної прогресії як q. Тоді перший член буде q, другий член буде q^2, третій член буде q^3 і так далі.

Кількість членів геометричної прогресії парна, тому можемо записати суму всіх її членів як: S = q + q^2 + q^3 + ... + q^(2n)

Сума членів з непарними номерами буде: S_н = q + q^3 + q^5 + ... + q^(2n-1)

За умовою задачі, сума всіх членів у 5 разів більша за суму з непарними номерами: S = 5S_н

Замінюємо вирази S та S_н за їхніми значеннями: q + q^2 + q^3 + ... + q^(2n) = 5(q + q^3 + q^5 + ... + q^(2n-1))

Згрупуємо члени з однаковими степенями q: q(1 + q + q^2 + ... + q^(2n-1)) = 5(q + q^3 + q^5 + ... + q^(2n-1))

Замінюємо групування суми знаменником прогресії: q(1 + q + q^2 + ... + q^(2n-1)) = 5q(1 + q^2 + q^4 + ... + q^(2n-1))

Знаменники q з обох боків рівняння скасовуються: 1 + q + q^2 + ... + q^(2n-1) = 5(1 + q^2 + q^4 + ... + q^(2n-1))

Додаємо 1 до обох боків рівняння: 1 + 1 + q + q^2 + ... + q^(2n-1) = 5(1 + 1 + q^2 + q^4 + ... + q^(2n-1))

Спрощуємо: 2 + q + q^2 + ... + q^(2n-1) = 5(2 + q^2 + q^4 + ... + q^(2n-1))

Виділимо загальні члени: 2 + (q + q^2 + ... + q^(2n-1)) = 5(2 + (q^2 + q^4 + ... + q^(2n-1)))

Замінюємо суму членів геометричної прогресії: 2 + S_н = 5(2 + S_н)

Розкриваємо дужки: 2 + q + q^2 + ... +