Question

Найдите десятый член геометрической прогрессии, если известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого её членов равно - 216

Answer 1

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a₁, а знаменатель как r. Тогда мы можем выразить четвертый, шестой и двадцатый члены как:

а₄ = а₁r³ а₆ = а₁r⁵ а₂₀ = а₁r¹⁹

Мы знаем, что произведение этих членов равно -216:

а₁r³ * а₁r⁵ * а₁r¹⁹ = -216

Упрощая, получаем:

а₁²r²⁷ = -216

Извлекая 10-й корень из обеих частей (так как мы хотим найти 10-й член), мы получаем:

а₁r⁹ = ±6

Теперь нам нужно решить еще одно уравнение для a₁ и r. Воспользуемся тем, что 6-й член равен a₆ = a₁r⁵. Мы можем выразить это через a₁ и r, используя только что найденное уравнение:

а₆ = а₁r⁵ = а₁r⁹ * r⁻⁴ = ±6 * r⁻⁴

Решив относительно r, получим:

г⁸ = (±6/а₁)²

г = ± (6 / а₁) ^ (1/8)

Мы можем выбрать положительный корень, так как знаменатель должен быть положительным для геометрической прогрессии. Теперь мы можем подставить это выражение для r в уравнение a₁r⁹ = ±6, чтобы получить:

а₁[(6/а₁)^(9/8)] = ±6

Упрощая, получаем:

а₁ = ±6[(6/а₁)^(1/8)]^(9/8)

а₁ = ± 6 (6) ^ (9/64)

Извлекая положительный корень (поскольку a₁ должен быть положительным), получаем:

а₁ = 6(6)^(9/64)

Теперь мы можем использовать формулу для 10-го члена геометрической прогрессии:

а₁₀ = а₁r⁹ = 6(6)^(9/64) * [(6/а₁)^(1/8)]^9

Упрощая, получаем:

а₁₀ = 6(6)^(1/64)

Следовательно, 10-й член геометрической прогрессии равен 6(6)^(1/64)

Answer 2

Чтобы найти десятый член геометрической прогрессии, мы можем использовать информацию о произведении четвёртого, шестого и двадцатого членов.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q (где q ≠ 0).

Тогда четвёртый член будет равен a * q^3, шестой член равен a * q^5, а двадцатый член равен a * q^19.

Мы знаем, что произведение этих трёх членов равно -216:

(a * q^3) * (a * q^5) * (a * q^19) = -216

(a^3 * q^27) * (a * q^19) = -216

a^4 * q^46 = -216

q^46 = -216 / a^4

q = (−216 / a^4)^(1/46)

Теперь мы можем использовать это значение знаменателя, чтобы найти десятый член геометрической прогрессии:

десятый член = a * q^9

Заметим, что дано произведение четвёртого, шестого и двадцатого членов равно -216. Подставим найденное значение q:

(a * q^3) * (a * q^5) * (a * q^19) = -216

a^3 * q^27 = -216

a^3 * ((−216 / a^4)^(1/46))^27 = -216

a^3 * ((−216)^27 / a^(4 * 27))^(1/46) = -216

a^3 * ((−216)^27 / a^108)^(1/46) = -216

a^3 * ((−216)^27)^(1/46) / a^(108/46) = -216

a^3 * (−216)^(27/46) / a^(54/23) = -216

a^(3 - 54/23) = (−216)^(27/46) * a^(54/23)

a^(-15/23) = (−216)^(27/46)

Теперь мы можем вычислить значение a, возведя обе части уравнения в степень 23/15:

a = (−216)^(27/46)^(23/15)

После нахождения значения a, мы можем найти десятый член, подставив значения a и q в формулу:

десятый член = a * q^9