Question

1. Розв’яжіть систему рівнянь: { х = 2 + у, у 2 − 2ху = 3. 2. Знайдіть область визначення функції: 1) у=√х 2 + 3х − 40; 2) у= х+2 √3х−12х 2 . 3. Розв’яжіть графічно систему рівнянь { у = −3x 2 + 6х, у + 6 = −х. 4. Два екскаватори, працюючи одночасно, можуть вирити котлован за 6 год 40 хв. Якщо ж спочатку перший екскаватор вирив самостійно 4 5 котловану, а потім другий – решту котловану, то всю роботу буде виконано за 12 год. За скільки годин може вирити котлован кожний екскаватор, працюючи окремо?

Answer 1

Для решения системы уравнений можно использовать метод подстановки. Сначала решим первое уравнение: у = 2 - х. Затем подставим это значение во второе уравнение: (2 - х)^2 - 2х(2 - х) = 3. Решаем уравнение: х = 5. Тогда у = -3.
Область определения функции y = √x^2 + 3x - 40 – это множество всех x, для которых x^2 + 3x - 40 ≥ 0. Область определения функции y = x + 2 + √3x - 12x^2 – это множество всех x, для которых 3x - 12x^2 ≥ 0.
Графически решить систему уравнений можно, находя пересечение графиков функций y = -3x^2 + 6x и y + 6 = -x. Точка пересечения будет решением системы

Answer 2

1. Давайте розв'яжемо систему рівнянь:

{ х = 2 + у, у^2 − 2ху = 3.

Підставимо значення х з першого рівняння в друге:

у^2 − 2(2 + у)у = 3.

Розпишемо це рівняння:

у^2 − 4у − 2у^2 = 3, -у^2 - 4у = 3.

Перенесемо все в одну сторону:

у^2 + 4у + 3 = 0.

Розкриємо це рівняння на множники:

(у + 3)(у + 1) = 0.

Отримали два можливих значення у:

у + 3 = 0 -> у = -3, у + 1 = 0 -> у = -1.

Підставимо ці значення у знову в перше рівняння, щоб знайти відповідні значення х:

Для у = -3: х = 2 + (-3) -> х = -1.

Для у = -1: х = 2 + (-1) -> х = 1.

Отже, розв'язком системи рівнянь є (х, у) = (-1, -3) і (х, у) = (1, -1).

2. Знайдемо область визначення функцій:

а) y = √(x^2 + 3x - 40)

Умовною областю визначення для кореня є вираз під коренем, тобто (x^2 + 3x - 40) ≥ 0.

Розкриваємо нерівність:

(x - 5)(x + 8) ≥ 0.

Ми маємо три інтервали: (-∞, -8), (-8, 5), (5, ∞).

Перевіряємо кожний інтервал:

Для (-∞, -8) і (5, ∞), вираз (x^2 + 3x - 40) буде додатнім або нульовим, тому корінь може бути взятий для будь-якого значення x в цих інтервалах.

Для (-8, 5), вираз (x^2 + 3x - 40) від'ємний, тому корінь не може бути взятий для значень x в цьому інтервалі.

Отже, область визначення функції у = √(x^2 + 3x - 40) - (-∞, -8) U (5, ∞).

б) y = x + 2√(3x - 12x^2)

Умовною област