Question

При яких значеннях параметра a всі корені рівняння (1 + a) x² – 3ax + 4a = 0 належать проміжку (2; 5)? Бажано з добрим поясненням.

Answer 1

Ответ:

Для того, щоб знайти значення параметра a, при яких всі корені рівняння належать проміжку (2; 5), ми можемо скористатися теоремою Вієта для квадратних рівнянь.За теоремою Вієта, сума коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 дорівнює -b/a, а добуток коренів дорівнює c/a.У нашому випадку, коефіцієнт b = -3a, тому сума коренів рівняння (1 + a) x² – 3ax + 4a = 0 буде рівна 3a/(1 + a).Також, добуток коренів рівняння дорівнює 4a/(1 + a).Оскільки всі корені належать проміжку (2; 5), то обидва корені мають бути більше 2 і менше 5. Це означає, що їх сума має бути більшою за 4 і меншою за 10, а їх добуток має бути більшим за 8 і меншим за 25.Таким чином, ми можемо записати дві нерівності:3a/(1 + a) > 4 та 4a/(1 + a) < 25Перетворюємо першу нерівність:3a > 4(1 + a)3a > 4 + 4aa < 4Перетворюємо другу нерівність:4a < 25(1 + a)4a < 25 + 25aa > -25/21Отже, всі корені рівняння (1 + a) x² – 3ax + 4a = 0 належать проміжку (2; 5) тоді і тільки тоді, коли параметр a задовольняє нерівності: -25/21 < a < 4.

Answer 2

Щоб знайти значення параметра a, при яких всі корені рівняння належать проміжку (2; 5), ми можемо скористатися дискримінантом квадратного рівняння.

Квадратне рівняння (1 + a) x² – 3ax + 4a = 0 має загальний вигляд ax² + bx + c = 0, де a = (1 + a), b = -3a, c = 4a.

Дискримінант квадратного рівняння обчислюється за формулою D = b² - 4ac.

У нашому випадку, ми маємо: D = (-3a)² - 4(a)(4a) = 9a² - 16a² = -7a².

Щоб всі корені рівняння належали проміжку (2; 5), необхідно, щоб D було менше за нуль (адже при D > 0 ми маємо два різних корені, а при D = 0 - один корінь). Отже, -7a² < 0.

Ми знаємо, що квадрат дійсного числа завжди не може бути від'ємним, тому щоб виконувалась нерівність -7a² < 0, a повинно бути рівним нулю.

Таким чином, єдиним значенням параметра a, при якому всі корені рівняння (1 + a) x² – 3ax + 4a = 0 належать проміжку (2; 5), є a = 0.