Question

Доведіть тотожність (16a^2+2)^2 - 64a^2 = (4a - 1)^2 (4a+1)^2

Answer 1

a^2-b^2=(a-b)(а+b)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Доведення:

(16а^2+1)^2-64a^2=(16а^2+1-8a)

(16a^2+1+8a)=(4a-1)^2(4a+1)^2

Доведено

Answer 2

Давайте спробуємо довести дану тотожність:

(16a^2 + 2)^2 - 64a^2 = (4a - 1)^2 (4a + 1)^2

Почнемо з лівої сторони тотожності:

(16a^2 + 2)^2 - 64a^2

Розгорнемо квадрат (16a^2 + 2)^2:

(16a^2 + 2)^2 = (16a^2 + 2)(16a^2 + 2) = (16a^2)(16a^2) + (16a^2)(2) + (2)(16a^2) + (2)(2) = 256a^4 + 32a^2 + 32a^2 + 4 = 256a^4 + 64a^2 + 4

Тепер підставимо це значення назад у вираз:

(256a^4 + 64a^2 + 4) - 64a^2 = 256a^4 + 64a^2 + 4 - 64a^2 = 256a^4 + 4

Тепер розглянемо праву сторону тотожності:

(4a - 1)^2 (4a + 1)^2

Розгорнемо квадрати:

(4a - 1)^2 = (4a - 1)(4a - 1) = (4a)(4a) - (4a)(1) - (1)(4a) + (1)(1) = 16a^2 - 4a - 4a + 1 = 16a^2 - 8a + 1

(4a + 1)^2 = (4a + 1)(4a + 1) = (4a)(4a) + (4a)(1) + (1)(4a) + (1)(1) = 16a^2 + 4a + 4a + 1 = 16a^2 + 8a + 1

Тепер перемножимо ці два вирази:

(16a^2 - 8a + 1)(16a^2 + 8a + 1)

Використовуючи правило розкладу квадрата суми, ми отримуємо:

(16a^2 - 8a + 1)(16a^2 + 8a + 1) = (16a^2)^2 + (16a^2)(8a) + (16a^2)(1) + (-8a)(16a^2) + (-8a)(8a) + (-8a)(1) + (1)(16a^2) + (1)(8a) + (1)(1) = 256a^4 + 128a^3 + 16a^2 - 128a^3 - 64a^2 - 8a + 16a^2 + 8a + 1 = 256a^4 + 16a^2 + 1