Question

Знайти корінь рівняння sin 2x - 4 cos x = 0 , який належить проміжку [2π; 3π]

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{\boxed{x \in \bigg \{\frac{5\pi }{2} \bigg \}}}$

Примечание:

$\boxed{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$

Объяснение:

$\sin 2x - 4 \cos x = 0$

$2 \sin x \cos x - 4 \cos x = 0$

$2 \cos x(\sin x - 2) = 0|:2$

$\cos x(\sin x - 2) = 0$

$\sin x -2 = 0$

$\sin x = 2 \Longrightarrow x \in \phi$ при $x \in \mathbb R$, так как $\sin x \in [-1;1]$.

$\cos x = 0$

$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z$

По условию $x \in [2 \pi;3 \pi]$

$n = 2: x = \dfrac{\pi}{2} + 2 \pi = \dfrac{\pi + 4 \pi}{2} = \dfrac{5 \pi}{2}$

Answer 2

Щоб знайти корінь рівняння sin 2x - 4 cos x = 0 на проміжку [2π, 3π], спочатку врахуємо, що sin 2x можна переписати в термінах cos x, використовуючи тригонометричну тотожність:

sin 2x = 2 sin x cos x.

Замінюючи це значення у рівнянні, маємо:

2 sin x cos x - 4 cos x = 0.

Факторизуємо це рівняння:

2 cos x (sin x - 2) = 0.

Це рівняння буде справедливим, коли один з множників буде рівний нулю. Отже, ми маємо два можливих випадки:

1. cos x = 0: На проміжку [2π, 3π] значення cos x дорівнює 0 при x = 3π/2.

2. sin x - 2 = 0: Розв'язуємо це рівняння для x на проміжку [2π, 3π]: sin x = 2. Однак немає значень x, для яких sin x дорівнює 2 на вказаному проміжку. Тому цей випадок не має розв'язків.

Отже, єдиний корінь рівняння sin 2x - 4 cos x = 0, що належить проміжку [2π, 3π], це x = 3π/2.