Question

Розкладіть многочлен на множники.1) p³ + 16p + 64​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

    p² + 16p + 64​ = p² + 2 * p * 8 + 8² = ( p + 8 )² .

   #  У  1- му одночлені опечатка показника степеня .

Answer 2

Щоб розкласти многочлен на множники, спочатку перевіримо, чи має він цілочислений корінь. Для цього перевіримо значення многочлена при p = -2:

p³ + 16p + 64 = (-2)³ + 16(-2) + 64 = -8 - 32 + 64 = 24

Отже, p + 2 не є множником цього многочлена.

Тепер ми можемо використати теорему Рафа про розклад многочлена на множники третього ступеня. Ми знаємо, що многочлен третього ступеня може мати максимум три множники.

Можемо спробувати розкласти многочлен на множники, використовуючи ділення синтетичним методом з відомими коренями. Зауважимо, що p + 2 не є коренем, тому спробуємо p - 2:

diffCopy code
-2 │ 1   0   16   64
    │    -2   4   -32
    ───────────────
    1   -2   20   32

Отримали коефіцієнти нового многочлена 1x² - 2x + 20. Цей многочлен має степінь 2, тому ми знаємо, що він розкладається на множники другого ступеня.

Застосуємо квадратний тричлен до многочлена 1x² - 2x + 20. Щоб знайти його корені, використовуємо формулу дискримінанту: D = b² - 4ac.

a = 1, b = -2, c = 20

D = (-2)² - 4 * 1 * 20 = 4 - 80 = -76

Дискримінант від'ємний, отже, у нас немає раціональних коренів. Можемо застосувати комплексні корені:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-(-2) ± √(-76)) / (2 * 1) = (2 ± 2√19i) / 2 = 1 ± √19i

Отже, розклад многочлена p³ + 16p + 64 на множники буде: (p + 2)(p - (1 + √19i))(p - (1 - √19i)).