Question

3(x²y+ y) + √(2+y²) dx = 0 найти общий интеграл уравнения ответ представить в виде psi(x, y) = C );​

Answer 1

Відповідь:

Для розв'язання цього інтегралу потрібно взяти інтеграл по x з обох боків рівняння. Для цього треба спочатку розкрити дужки і перенести доданки з y на один бік:

3x²y + 3y + √(2+y²) dx = 0

Потім взяти інтеграл по x:

x³y + 3xy + x√(2+y²) = C

Отже, загальний інтеграл має вигляд:

psi(x, y) = x³y + 3xy + x√(2+y²) = C

де C - довільна стала.

Пояснення:

Answer 2

Для нахождения общего интеграла данного уравнения, мы должны решить уравнение относительно функции $\psi(x, y)$, где $C$ является произвольной постоянной.

Итак, у нас есть уравнение: $3(x^2y + y) + \sqrt{2 + y^2} \, dx = 0$

Чтобы найти общий интеграл, мы интегрируем оба выражения уравнения по переменной $x$, считая $y$ постоянным:

$\int 3(x^2y + y) \, dx + \int \sqrt{2 + y^2} \, dx = 0$

Интегрируя первое слагаемое, получаем: $yx^3 + 3xyx + \int \sqrt{2 + y^2} \, dx = 0$

Далее, интегрируем второе слагаемое: $yx^3 + 3xyx + \frac{1}{2} \left( 2 + y^2 \right)^{\frac{3}{2}} + C = 0$

Таким образом, общий интеграл данного уравнения может быть представлен в виде: $\psi(x, y) = yx^3 + 3xyx + \frac{1}{2} \left( 2 + y^2 \right)^{\frac{3}{2}} + C$

Где $C$ является произвольной постоянной.