Question

Площадь ромба меньше 15 см², но больше 8 см², а одна из его диагоналей на 1 см длиннее другой. Найдите длину меньшей диагонали этого ромба, если она выражена целым числом санти- метров. помогитеее дам 10 баллов​

Answer 1

Пусть сторона ромба равна а, а меньшая диагональ b. Тогда, согласно свойствам ромба, другая диагональ будет длиной √(4a² - b²).

Условие задачи можно записать в виде неравенства:

8 < (b√(4a²-b²))/2 < 15

Умножим всю неравенство на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

16 < b√(4a²-b²) < 30

Возведем всё в квадрат:

256 < 4a²-b² < 900

Выразим b²:

4a²-900 < b² < 4a²-256

Так как одна диагональ на 1 см длиннее другой, то:

b = √(a²-1)

Подставим это выражение в неравенство:

4a²-900 < a²-1 < 4a²-256

2a² < 449 < 3a²

149.67 < a² < 149.67...

Так как a - это длина стороны ромба, то она должна быть выражена целым числом. Ближайшее целое, меньшее чем √149.67 - это 12.

Тогда, длина меньшей диагонали ромба равна:

b = √(a²-1) = √(144-1) = √143 ≈ 11.95 см.

Ответ: 11 см (длина меньшей диагонали выражена целым числом).

Answer 2

Пусть сторона ромба равна a, а диагонали равны d1 и d2. Так как диагонали пересекаются под прямым углом и каждая диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника, то:

d1² = a² + a² = 2a²
d2² = (a/2)² + (a/2)² = a²/2

Площадь ромба равна (d1*d2)/2, поэтому:

(d1d2)/2 < 15
(d1d2)/2 > 8

Подставим d1² и d2² в первое неравенство:

(d1d2)/2 < 15
(d1²/2)(a²/2) < 15
d1²*a² < 60

Теперь подставим d1² и d2² во второе неравенство:

(d1d2)/2 > 8
(d1²/2)(a²/2) > 8
d1²*a² > 32

Объединим два неравенства:

32 < d1²*a² < 60

Диагональ d1 на 1 см длиннее другой диагонали, поэтому d1 = d2 + 1. Подставим это выражение в предыдущее неравенство и решим его относительно d2:

32 < (d2+1)²*a² < 60
32/a² < (d2+1)² < 60/a²
√(32/a²) < d2 + 1 < √(60/a²)
√32/a < d2 < √60/a - 1

Так как d2 - это половина диагонали, то меньшая диагональ равна d2*2. Подставим значения a и округлим до ближайшего целого числа:

d2*2 ≈ 2 * √32/a * 2 = 10 см

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна 10 см.

Answer 3

Пусть x будет длиной меньшей диагонали ромба в сантиметрах. Тогда другая диагональ будет иметь длину x + 1 сантиметр.

Формула для площади ромба: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Мы знаем, что площадь ромба меньше 15 см² и больше 8 см²:

8 < (x * (x + 1)) / 2 < 15

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от деления:

16 < x * (x + 1) < 30

Раскроем скобки:

16 < x² + x < 30

Получили квадратное неравенство. Решим его:

x² + x - 16 > 0 x² + x - 30 < 0

Мы ищем длину меньшей диагонали, поэтому выбираем только отрицательное решение, т.е.:

x² + x - 30 = 0

Факторизуем левую часть:

(x + 6)(x - 5) = 0

Из этого получаем два возможных значения для x: -6 и 5. Так как длина не может быть отрицательной, то x = 5.

Таким образом, длина меньшей диагонали ромба составляет 5 сантиметров.