Question

Sin(2x+5п/4) tg x=2/3

Answer 1

Ответ:

Преобразуем выражение sin(2x+5п/4) tg x=2/3, используя формулу тангенса двойного угла:

sin(2x+5п/4) tg x = 2/3

sin(2x+5п/4) sin x/cos x = 2/3

sin(2x+5п/4) sin x = 2/3 cos x

2sinxcosxsin(2x+5п/4) = 2/3 cos x

sin(4x+5п/2) = 2/3 cos x

Теперь применим теорему Пифагора: sin^2 + cos^2 = 1, чтобы выразить cos x через sin x:

sin^2 x + cos^2 x = 1

cos^2 x = 1 - sin^2 x

Подставляем это выражение в последнее уравнение:

sin(4x+5п/2) = 2/3 √(1 - sin^2 x)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

sin^2 (4x+5п/2) = 4/9 (1 - sin^2 x)

Заменяем sin^2 (4x+5п/2) на cos^2 (4x+п/2), используя формулу синуса двойного угла:

cos^2 (4x+п/2) = 4/9 (1 - sin^2 x)

Теперь заменяем cos^2 (4x+п/2) на 1 - sin^2 (4x+п/2), используя теорему Пифагора:

1 - sin^2 (4x+п/2) = 4/9 (1 - sin^2 x)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

5/9 sin^2 (4x+п/2) = 4/9

sin^2 (4x+п/2) = 4/5

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

sin (4x+п/2) = ±2/√5

Так как sin (4x+п/2) не может быть больше 1 или меньше -1, то получаем только одно решение:

sin (4x+п/2) = 2/√5

Теперь используем формулу синуса половинного угла, чтобы выразить sin x через sin(4x+п/2):

sin x = ±√(1-cos(4x+п))/2

Заменяем cos(4x+п) на -cos(4x):

sin x = ±√(1+cos(4x))/2

Теперь заменяем cos(4x) на 1-2sin^2(2x), используя формулу косинуса двойного угла:

sin x = ±√(1+(1-2sin^2(2x)))/2

sin x = ±√(2-2sin^2(2x))/2

sin x = ±√(1-sin^2(2x))

Таким образом, мы получили выражение для sin x через sin(2x). Теперь можно решить уравнение, заменив sin x на это выражение:

±√(1-sin^2(2x)) = 2/√5

Возводим обе части уравнения в квадрат:

1-sin^2(2x) = 4/5

sin^2(2x) = 1/5

sin(2x) = ±√(1/5)

Таким образом, получаем два решения:

sin(2x) = √(1/5)

sin(2x) = -√(1/5)

Решая эти уравнения, получаем:

2x = arcsin(√(1/5))/2 + kп

2x = π - arcsin(√(1/5))/2 + kп

2x = -arcsin(√(1/5))/2 + kп

2x = -π + arcsin(√(1/5))/2 + kп

где k - целое число. Теперь можно найти значения x:

x = (arcsin(√(1/5))/4 + kп/2

x = (π - arcsin(√(1/5))/4 + kп/2

x = (-arcsin(√(1/5))/4 + kп/2

x = (-π + arcsin(√(1/5))/4 + kп/2

Таким образом, мы получили четыре решения уравнения sin(2x+5п/4) tg x=2/3.

Answer 2

To solve the equation sin(2x + 5π/4) = tg(x) = 2/3, we'll follow the steps below:

1. Let's first convert the tangent function to sine and cosine using the identity tg(x) = sin(x) / cos(x). Since tg(x) = 2/3, we have sin(x) / cos(x) = 2/3.

2. To eliminate the denominator, we can multiply both sides of the equation by cos(x) to get sin(x) = (2/3)cos(x).

3. Now, let's use the Pythagorean identity sin^2(x) + cos^2(x) = 1 to express cos(x) in terms of sin(x). Rearranging the equation gives cos^2(x) = 1 - sin^2(x), and taking the square root of both sides yields cos(x) = ±√(1 - sin^2(x)).

4. Substituting cos(x) = ±√(1 - sin^2(x)) into the equation sin(x) = (2/3)cos(x), we have sin(x) = (2/3) * ±√(1 - sin^2(x)).

5. We can now solve for sin(x) by squaring both sides of the equation: sin^2(x) = (4/9) * (1 - sin^2(x)).

6. Expanding and rearranging the equation, we have sin^2(x) + (4/9)sin^2(x) = (4/9).

7. Combining like terms, we get (13/9)sin^2(x) = (4/9).

8. Dividing both sides of the equation by (13/9), we obtain sin^2(x) = (4/13).

9. Taking the square root of both sides, we have sin(x) = ±√(4/13) = ±(2/√13).

10. Since sin(x) = (2/√13), we can now solve for x by taking the inverse sine (arcsin) of (2/√13). Using a calculator, we find two possible values for x: x ≈ 0.5276 radians and x ≈ 2.6136 radians.

Therefore, the solutions to the equation sin(2x + 5π/4) = tg(x) = 2/3 are x ≈ 0.5276 radians and x ≈ 2.6136 radians.