Question

Розвʼяжіть рівняння: x^4-5x^2-14=0

Answer 1

${x}^{4} - 5 {x}^{2} - 14 = 0 \\ {x}^{2} = a, \: \: \: a \geqslant 0 \\ {a}^{2} - 5a - 14 = 0$

По теореме Виета:

${x}^{2} + bx + c = 0\\ x_{1} + x_{2} = - b\\ x_{1} x_{2} = c$

$a_{1} + a_{2} = 5 \\ a_{1}a_{2} = - 14 \\ a_{1 } = 7 \\ a_{2} = - 2$

Второй корень не подходит

${x}^{2} = 7 \\ x_{1} = - \sqrt{7} \\ x_{2} = \sqrt{7}$

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння x^4 - 5x^2 - 14 = 0, ми можемо виконати заміну, де y = x^2.

Після заміни рівняння стає: y^2 - 5y - 14 = 0.

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації або формул квадратного кореня.

Факторизація: (y - 7)(y + 2) = 0.

Звідси ми отримуємо два розв'язки: y - 7 = 0 або y + 2 = 0.

Для першого розв'язку отримуємо: y = 7.

Тепер підставимо y = 7 у вираз y = x^2: x^2 = 7.

Щоб знайти значення x, візьмемо квадратний корінь обох боків рівняння: x = ±√7.

Для другого розв'язку отримуємо: y = -2.

Підставимо y = -2 у вираз y = x^2: x^2 = -2.

Це рівняння не має розв'язків у множині дійсних чисел, тому розв'язків рівняння x^4 - 5x^2 - 14 = 0 є лише два значення: x = √7 або x = -√7.