Question

Найти ординату точки пересечения касательной к графику функции f(x) = (3x+1)/(x-2) в точке с абсциссой x = 3 и осью Oy. Напишите полное решение. Ответ 31.

Answer 1

1) Находим производную данной функции:
$y`(x)=( \frac{3x+1}{x-2})`= \frac{(3x+1)`(x-2)-(3x+1)(x-2)`}{(x-2)^2}=\\\\= \frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}= \frac{3x-6-3x-1}{(x-2)^2}= \frac{-7}{(x-2)^2}$

2) Находим значение производной в точке х=3:
$y`(3)= \frac{-7}{(3-2)^2}= \frac{-7}{1}=-7$

3) Находим значение функции в точке х=3:
$y(3)= \frac{3*3+1}{3-2}= \frac{10}{1}=10$

4) Составляем уравнение касательной в точке х=3:
$y=y(3)+y`(3)(x-3)\\ y=10-7(x-3)\\ y=10-7x+21\\ y=-7x+31$

5) Уравнение оси Оу: х=0
Находим ординату точки пересечения полученной касательной с осью Оу:
y(0)=-7*0+31=0+31=31

Ответ: 31