Question

11. Побудуйте графік функції y = (x ^ 3 - x ^ 2 - 2x)/(x ^ 2 - 2x)

Answer 1

Щоб побудувати графік функції y = (x^3 - x^2 - 2x)/(x^2 - 2x), спочатку розглянемо декілька основних елементів:

1. Визначення області визначення: функція визначена для всіх значень x, окрім тих, де знаменник рівний нулю. У цьому випадку, x^2 - 2x = 0, отже x = 0 або x = 2. Таким чином, область визначення функції - R \ {0, 2} (усі дійсні числа, крім 0 та 2).

2. Знайдемо вертикальні асимптоти: коли знаменник дорівнює нулю, функція може мати вертикальну асимптоту. У нашому випадку, x^2 - 2x = 0, отже x = 0 або x = 2. Однак, оскільки ці значення не входять до області визначення функції, немає вертикальних асимптот.

3. Знайдемо горизонтальну асимптоту: якщо степінь чисельника (x^3 - x^2 - 2x) не менше, ніж степінь знаменника (x^2 - 2x) після спрощення, то функція може мати горизонтальну асимптоту. У нашому випадку степінь чисельника (3) більша, ніж степінь знаменника (2), отже можлива горизонтальна асимптота. Для знаходження горизонтальної асимптоти обчислимо її значення:

   a) При x → ±∞: розділимо коефіцієнти найвищого порядку у чисельнику і знаменнику, щоб отримати значення горизонтальної асимптоти. У нашому випадку це y = x^3 / x^2 = x.

Тепер ми маємо достатню інформацію, щоб побудувати графік функції.