Question

При каких значениях параметра p функция у=2x^3 - px^2 + px- 14 возрастает на всей числовой прямой

Answer 1

$f(x)=2x^3-px^2+px-14$

Функция f(x) возрастает, если её производная  $f'(x)\ \textgreater \ 0$.

$f'(x)=(2x^3-px^2+px-14)'=6x^2-2px+p\ \textgreater \ 0$

Это неравенство выполняется для всех х, если D<0, то есть

$D=(-2p)^2-4\cdot6\cdot p=4p^2-24p=4p(p-6)\ \textless \ 0$

____+__(0)____-___(6)___+___

При  $0\ \textless \ p\ \textless \ 6$ функция f(x) возрастает на всей числовой прямой. Осталось теперь проверить параметры р на концах интервала

Если  $p=0$, то  $f(x)=2x^3-14$ - возрастающая функция.

Если  $p=6$, то  $f(x)=2x^3-6x^2+6x-14\\ f'(x)=6x^2-12x+6=6(x^2-2x+1)=6(x-1)^2\ \textgreater \ 0$, то есть функция является возрастающей.

ОТВЕТ: при  $p\in[0;6].$

Answer 2

Чтобы определить значения параметра p, при которых функция у = 2x^3 - px^2 + px - 14 возрастает на всей числовой прямой, нам нужно проанализировать её производную.

Для этого найдём производную функции у по переменной x:

у' = 6x^2 - 2px + p.

Теперь нам нужно найти условия, при которых у' > 0 для любого значения x. Это будет означать, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Для анализа знаков производной, решим неравенство у' > 0:

6x^2 - 2px + p > 0.

Это квадратное неравенство относительно x. Чтобы найти его решение, мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства.

1. Найдём точку, где у' равна нулю. Для этого решим у' = 0:

6x^2 - 2px + p = 0.

Используем квадратное уравнение:

x = (-(-2p) ± √((-2p)^2 - 4(6)(p))) / (2(6)) x = (2p ± √(4p^2 - 24p)) / 12 x = (p ± √(p^2 - 6p)) / 6.

2. Построим таблицу интервалов:

   scssCopy code
    (-∞, x₁)   |   (x₁, x₂)   |   (x₂, +∞)
   

   +------------+------------+------------+ | - | + | - | +------------+------------+------------+ | + | - | + | +------------+------------+------------+

3. Выберем произвольные значения для проверки в каждом интервале. Например, x = 0, x = 1 и x = 2.

• При x = 0: у' = p > 0 (если p > 0) или у' = p < 0 (если p < 0).
• При x = 1: у' = 4 - 2p + p = 4 - p > 0 (если p < 4).
• При x = 2: у' = 24 - 4p + p = 24 - 3p > 0 (если p < 8).

4. В итоге, получаем:

• Для у' > 0 на всей числовой прямой, параматер p должен быть меньше 4 (p < 4).

Таким образом, при значениях параметра p < 4 функция у = 2x^3 - px^2 + px - 14 возрастает на всей числовой прямой.