Question

Решите неравенство 3^2x+1 + 8*3^x - 3 ≥ 0

Answer 1

3^(2x+1 )+ 8*3^(x) - 3 ≥ 0

3*3^(2x)+ 8*3^(x) - 3 ≥ 0

3ˣ=t     t> 0

3t²+8t-3 ≥ 0

D=64+36=100

t₁=(-8+10)/6= 1/3      

t₂=(-8-10)/6= -3 < 0 не подходит

                    -                  +

______-3________1/3_________

3ˣ= 1/3   x= -1                ///////////////////

х∈ [-1 ; +∞)

Answer 2

Давайте решим это неравенство пошагово.

Исходное неравенство: 3^(2x+1) + 8 * 3^x - 3 ≥ 0

Перепишем 8 как 2^3: 3^(2x+1) + 2^3 * 3^x - 3 ≥ 0

Заметим, что 3^(2x+1) = 3 * (3^x)^2: 3 * (3^x)^2 + 2^3 * 3^x - 3 ≥ 0

Теперь приведем подобные слагаемые: 3 * (3^x)^2 + 8 * 3^x - 3 ≥ 0

Давайте введем замену: пусть u = 3^x. Тогда наше неравенство станет: 3u^2 + 8u - 3 ≥ 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Прежде всего, найдем его корни, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два различных корня. Формула для нахождения корней:

u = (-b ± √D) / (2a)

u₁ = (-8 + √100) / (2 * 3) = (-8 + 10) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

u₂ = (-8 - √100) / (2 * 3) = (-8 - 10) / 6 = -18 / 6 = -3

Таким образом, получили два корня: u₁ = 1/3 и u₂ = -3.

Теперь нам нужно решить неравенство 3^x > 0, чтобы определить допустимые значения x.

Поскольку 3^x всегда положительно для любого значения x, мы можем исключить корень u₂ = -3.

Таким образом, допустимые значения x определяются корнем u₁ = 1/3.

Таким образом, решением исходного неравенства 3^(2x+1) + 8 * 3^x - 3 ≥ 0 является x ≥ log₃(1/3).