Question

2. Решите задачу с помощью системы уравнений. Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Answer 1

Ответ:

60

Объяснение:

x - скорость 1-го автомобилиста, км/ч.

(x-15) - скорость 2-го автомобилиста на первой половине пути, км/ч.

y - время в пути каждого автомобилиста, ч.

Возьмём весь путь за два (чтобы в дальнейшем не использовать половинки пути, а брать по одной целой).

Система уравнений:

2/x=y

1/(x-15) +1/90=y

2/x=1/(x-15) +1/90

(90+x-15)/(90(x-15)) -2/x=0

(x(75+x)-180(x-15))/(90x(x-15))=0

75x+x²-180x+2700=0

x²-105x+2700=0; D=11025-10800=225

x₁=(105-15)/2=90/2=45 км/ч - ответ не соответствует условию, так как скорость 1-го автомобилиста больше на

54 км/ч: 45-50=-5.

x₂=(105+15)/2=120/2=60 км/ч - скорость 1-го автомобилиста.

Answer 2

Пусть $x$ - скорость первого автомобилиста (в км/ч).

Так как первый автомобилист проехал весь путь со скоростью $x$ км/ч, время его пути будет равно $t_1 = \frac{d}{x}$, где $d$ - расстояние между городами А и В.

Второй автомобилист проехал первую половину пути со скоростью $x - 15$ км/ч и вторую половину пути со скоростью 90 км/ч. Так как расстояние в обоих случаях одинаковое (половина пути), можно записать уравнение:

$\frac{d}{2(x-15)} + \frac{d}{2 \cdot 90} = t_1$

Расстояние $d$ в обоих случаях одинаковое, поэтому можно сократить его:

$\frac{1}{2(x-15)} + \frac{1}{2 \cdot 90} = \frac{1}{x}$

Упростим уравнение, умножив обе части на $2(x-15) \cdot 90 \cdot x$:

$(x-15) \cdot 90 \cdot x + x \cdot 2(x-15) = 2 \cdot 90 \cdot (x-15)$

$90x^2 - 1350x + 2x^2 - 60x = 180x - 2700$

Упростим еще:

$92x^2 - 1410x = 180x - 2700$

Перенесем все влево:

$92x^2 - 1410x - 180x + 2700 = 0$

Упростим:

$92x^2 - 1590x + 2700 = 0$

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Для удобства дальнейших вычислений, разделим все на 2:

$46x^2 - 795x + 1350 = 0$

Используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае $a = 46$, $b = -795$, и $c = 1350$. Подставим значения:

$x = \frac{-(-795) \pm \sqrt{(-795)^2 - 4 \cdot 46 \cdot 1350}}{2 \cdot 46}$

$x = \frac{795 \pm \sqrt{795^2 - 4 \cdot 46 \cdot 1350}}{92}$

Вычислим корни квадратного корня:

$x = \frac{795 \pm \sqrt{631025 - 248400}}{92}$

$x = \frac{795 \pm \sqrt{382625}}{92}$

(x = \frac{