Question

ФакториалыПри каких натуральных n выполняется неравенство .(n-1)! / (n-3)! <72 

Answer 1

$\frac{(n-1)!}{(n-3)!}$

$(n-2)(n-1)$

$n^2-3n-70$

$D=9+280=289$

$n_1= \frac{3+17}{2} =10$

$n_2= \frac{3-17}{2} =-7$

$(n-10)(n+7)$
$n\in(-7,10)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте упростим его, используя свойства факториалов.

(n-1)! / (n-3)! < 72

Распишем факториалы:

(n-1)(n-2)(n-3)! / (n-3)! < 72

Теперь можно сократить (n-3)! в числителе и знаменателе:

(n-1)(n-2) < 72

Раскроем скобки:

n^2 - 3n + 2 < 72

n^2 - 3n - 70 < 0

Теперь найдём корни квадратного уравнения:

n = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4 * 1 * (-70))) / (2 * 1)

n = (3 ± √(9 + 280)) / 2

n = (3 ± √289) / 2

n = (3 ± 17) / 2

Итак, получаем два корня: n1 = (3 + 17) / 2 = 20 и n2 = (3 - 17) / 2 = -7.

Однако, мы ищем натуральные значения n. Отрицательное значение -7 не является натуральным, поэтому рассматриваем только положительное значение n = 20.

Таким образом, неравенство выполнится для всех натуральных n, больших или равных 20.