Question

Найдите сумму квадратов корней уравнения 4x² - 7x - 1 = 0 ​

Answer 1

По теореме Виета :

$x_1+x_2=\dfrac{7}{4}\\ \\ x_1x_2=-\dfrac{1}{4}$

Найдем сумму квадратов корней квадратного уравнения:

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\dfrac{7}{4}\right)^2-2\cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)=3.5625$

Answer 2

Відповідь:

1,75

Пояснення:

За теоремою Вієта сума коренів рівняння дорівнює

x₁ + x₂ = -b/a,

а добуток:  x₁x₂=c/a

а=4, b=-7, c=-1

Тому x₁ + x₂ =7/4=1,75

x₁x₂=-1/4

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(1.75)²-2*(-0.25)=3.5625

Answer 3

Мы можем решить данное квадратное уравнение, используя формулу корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где $a=4$, $b=-7$ и $c=-1$. Подставляя эти значения, мы получим:

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49+16}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{8}$

Таким образом, корни уравнения имеют вид:

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{65}}{8} \qquad x_2 = \frac{7 - \sqrt{65}}{8}$

Следовательно, сумма квадратов корней равна:

$\left(\frac{7 + \sqrt{65}}{8}\right)^2 + \left(\frac{7 - \sqrt{65}}{8}\right)^2$

$= \frac{49 + 14\sqrt{65} + 65}{64} + \frac{49 - 14\sqrt{65} + 65}{64}$

$= \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 65}{64} = \frac{228}{64} = \frac{57}{16}$

Таким образом, сумма квадратов корней уравнения $4x^2 - 7x - 1 = 0$ равна $\frac{57}{16}$.