Question

Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

Answer 1

Ответ:

Теорема Виета. Если x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения a·x²+b·x+c=0, то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a, то есть  

x₁ + x₂ = -b/a и x₁ ∙ x₂ = c/a.

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁+x₂= −b/a и x₁ ∙ x₂= c/a, то x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения a·x²+b·x+c=0.

Теорема, обратная теореме Виета, имеет несколько следствий.

Следствие-1. Если для коэффициентов квадратного уравнения a·x²+b·x+c=0 выполняется равенство a + b + c = 0, то корнями квадратного уравнения являются x₁= 1 и x₂= c/a.

Следствие-2. Если для коэффициентов квадратного уравнения a·x²+b·x+c=0 выполняется равенство a + c = b, то корнями квадратного уравнения являются x₁= -1, x₂= -c/a.

Answer 2

Следствие из обратной теоремы Виета гласит: если все корни многочлена являются целыми числами, то коэффициенты многочлена являются целыми числами, кратными старшему коэффициенту и знаку свободного члена этого многочлена.