Question

Исследуйте функцию y=2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы. Постройте график этой функции.

Answer 1

$y(x)=2x^3-3x^2$

$D(y):=(-\infty;+\infty)$

ищем критические точки:
$y'=(2x^3-3x^2)'=6x^2-6x=6x(x-1)=0\\\\ 6x^2-6x=0\\\\ x^2-x=0\\\\ x(x-1)=0\\\\ x=0\ \ or\ \ x=1$

смотрим, как ведет себя производная функции при переходе через эти точки:
$+++++++[0]---------[1]+++++++\ \textgreater \ x$

производная в точке 0 меняет знак с + на - , что означает, что точка  $0$ являеться максимумом функции  $y(x)$,

производная в точке 1 меняет знак с - на + , что означает, что точка  $1$ являеться минимумом функции  $y(x)$

----------------
тогда промежутки монотонности:
ф-ия $y(x)$ монотонно растет на промежутке  $(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$

ф-ия $y(x)$ монотонно убывает на промежутке  $(0;1)$
----------------
ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОХ в точкаx  $(0;\ 0),\ (1.5;\ 0)$
$2x^3-3x^2=0\\\\ 2*x^2*(x-1.5)=0\\\\ x=0\ \ or\ \ x=1.5$

ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОУ в точке $(0;\ 0)$

на основании этих данных и строиться схематический   график 

Answer 2

Для исследования функции y = 2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы, мы должны проанализировать ее производные.

Производная первого порядка: y' = 6x^2 - 6x

Чтобы найти экстремумы, нам нужно решить уравнение y' = 0: 6x^2 - 6x = 0 6x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 1.

Теперь давайте проанализируем знаки производной в интервалах между и вне критических точек.

1. Когда x < 0: Подставим x = -1 в y': y' = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 Таким образом, производная положительна при x < 0.

2. Когда 0 < x < 1: Подставим x = 0.5 в y': y' = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 Таким образом, производная отрицательна при 0 < x < 1.

3. Когда x > 1: Подставим x = 2 в y': y' = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 Таким образом, производная положительна при x > 1.

Итак, на основе анализа знаков производной, мы можем сделать следующие выводы:

• Функция увеличивается на интервале (-∞, 0) и (1, +∞).
• Функция уменьшается на интервале (0, 1).
• Минимальное значение функции достигается в критической точке x = 1.

Теперь построим график функции y = 2x^3 - 3x^2.

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 400)
y = 2 * x**3 - 3 * x**2

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = 2x^3 - 3x^2')
plt.grid(True)
plt.axhline(y=0, color='k')
plt.axvline(x=0, color='k')
plt.show()

На графике выше мы можем увидеть, что функция имеет минимум в точке x = 1.