Question

Найдите все значения параметра b, при которых для любого значения параметра а, существует тройка действительных чисел (x;y;z), удовлетворяющая системе уравнений:

Answer 1

Из первого уравнения выражаем x = 1 - z - ay.

Подставляем во второе уравнение:
a(1 - z - ay) + y = z - b
(1 - a^2) y = z - b - a(1 - z)

Проблемы с наличием вещественных решений возникнут только в случае, когда a = +-1, в противном случае решением будет, например, z = 1, y = (1 - b)/(1 - a^2) и x = - a * (1 - b)/(1 - a^2).

a = 1: система превращается в x + y = 1 - z = z - b. У этой системы всегда есть решение z = (1 + b)/2, x = y = (1 - b)/4.

a = -1: система превращается в x - y = 1 - z = b - z. Чтобы тут были решения, нужно, чтобы выполнилось условие 1 - z = b - z, откуда b = 1. При b = 1 решением будет, например, тройка x = 1, y = z = 0.


Ответ. b = 1.

Answer 2

Система уравнений:

$\begin{cases}
x + 2y + z = a \\
2x + y + bz = a \\
x + by + 2z = a
\end{cases}$

Найдем определитель матрицы коэффициентов этой системы:

$$det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & b \\
1 & b & 2
\end{pmatrix} = (1\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot b\cdot 1 + 1\cdot 2 \cdot (-2)) - (1\cdot 1\cdot(-2) + 2\cdot 1\cdot 2 + b\cdot 2\cdot 1) = 2 - 2b$$

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов не равен нулю: $2 - 2b \neq 0$. Отсюда получаем, что $b \neq 1$.

Рассмотрим два случая:

1) $b \neq 2$

В этом случае система имеет единственное решение при любом значении $a$ (в том числе и при $a=0$). Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был отличен от нуля. Таким образом, $b \neq 1$ и $b \neq 2$.

2) $b = 2$

В этом случае матрица коэффициентов является вырожденной, то есть система имеет бесконечное множество решений. Найдем ранг этой матрицы:

$$rank\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 2
\end{pmatrix} = rank\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = 3$$

Значит, система имеет бесконечное множество решений при всех значениях $a$ и $b = 2$.

Итак, ответ: для любого значения параметра $a$ система имеет решение тогда и только тогда, когда $b \neq 1$ и $b \neq 2$, или если $b = 2$.