Question

Решите систему уравнений:x^2+y^2=13,x^4-y^4=65.​

Answer 1

Объяснение:

Пусть x²=t; y²=k

t+k=13

t²-k²=65

t=13-k

(13-k)²-k²=65

t=13-k

13²+k²-26k-k²=65

t=13-k

169-26k=65

t=13-k

169-65=26k

104=26k

k=4

Решим первое уравнение системы:

t=13-k, при k=4

t=13-4

t=9

Обратная замена:

x²=t; y²=k

x=√t

x=√9

x=±3

y=√k

y=√4

y=±2

Ответ: х1=-3; х2=3; у1=-2; у2=2

Answer 2

Заметим, что $x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x^2-13)$. Тогда из второго уравнения следует, что $x^2-13=5$, откуда $x=\pm 4$. Подставляя $x=4$ в первое уравнение, находим $y=\pm 3$, а при $x=-4$ получаем $y=\pm 3i$. Итак, решением системы являются четыре пары $(\pm 4, \pm 3)$, $(4i, -3i)$ и $(-4i, 3i)$.