Question

Помогите решить. Желательно с объяснением. решите уравнение:      tg 4x - tg 3x / 1+ tg 4x * tg 3x = корень из 3 Помогите пожалуйста, 2 недели не был в школе.

Answer 1

Решение
(tg4x - tg3x) / (1 + tg4x*tg3x) = √3
tg((4x - 3x) = √3
tgx = √3
x = arctg√3 + πn, n ∈ Z
x = π/3 + πn, n ∈ Z
Применили формулу: tg(α - β) = (tgα - tgβ) / ( 1 + tgα * tgβ)

Answer 2

Разделим числитель и знаменатель на $tg3x$:
$$\frac{tg4x-tg3x}{1+tg4x\cdot tg3x}=\frac{tg3x(tg4x-tg3x)}{tg3x+tg4x}$$
Заменим $tg3x$ через $tg4x-\frac{\sqrt{3}}{3}$, так как $tg\,60^\circ=\sqrt{3}$:
$$\frac{tg4x-\left(tg4x-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{tg4x\cdot\left(tg4x-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{tg4x+\frac{\sqrt{3}}{3}}$$
Приведем дробь к общему знаменателю и сократим одинаковые множители:
$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{tg4x+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\cdot\frac{\frac{1}{2}}{tg4x+\frac{1}{2}}$$
Получили уравнение, которое решается путем переноса всего в одну часть и применения тригонометрических формул.