Question

решите, пожалуйста, такое уравнение  4sin в квадрате x=tgx

Answer 1

4*sin^2(x) = tgx
tgx = sinx / cosx - по определению тангенса
4sin^2(x) = sinx/cosx
4sin^2(x) * cosx - sinx = 0
sinx * (4sinx * cosx - 1) = 0
1) sinx=0, x=pi*k
2)  4sinx * cosx - 1 = 0
2*2*sinx*cosx = 1
sin(2x) = 2sinx*cosx - синус двойного угла
2sin(2x) = 1, sin(2x) = 1/2
2x=pi/3 + 2pi*k, x=pi/6 + pi*k
2x = 2pi/3 + 2pi*k, x=pi/3 + pi*k
Ответ:  x=pi*k,  x=pi/6 + pi*k,  x=pi/3 + pi*k

Answer 2

Перепишем уравнение в виде:
$$
4\sin^2 x = \tan x \cdot \cos x
$$
Заменим тангенс на отношение синуса и косинуса: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Тогда уравнение примет вид:
$$
4\sin^2 x = \frac{\sin x \cos x}{\cos x} = \sin x
$$
Теперь приведем все к одной степени:
$$
4\sin^3 x - \sin x = 0
$$
Вынося $\sin x$ за скобки, получаем:
$$
\sin x (4\sin^2 x - 1) = 0
$$
Отсюда имеем два возможных решения:
$$
\sin x = 0,\quad \sin x = \frac{1}{2}
$$
Первое уравнение имеет решения $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

Второе уравнение решаем с помощью формулы $\sin x = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}}$. Тогда получаем:
$$
\pm \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \frac{1}{2}
$$
Откуда $\cos 2x = 0$ и $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целые числа. Или $\cos 2x = \frac{3}{4}$ и $2x = \pm\arccos{\frac{3}{4}} + 2\pi n$. Из этого следует, что
$$
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},\quad x = \pm \frac{1}{2}\arccos{\frac{3}{4}} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}
$$

Итак, решения уравнения: $x = k\pi$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},\quad x = \pm \frac{1}{2}\arccos{\frac{3}{4}} + \pi n$.