Question

В круг радиуса R вписан прямоугольник, одна из сторон которого равна x. Является ли площадь прямоугольника S функцией от x? Если да, то найдите область определения и множество значений этой функции. Найдите S при x=R\3;4R\3.

Answer 1

1) У прямоугольника, вписанного в окружность, диагональ всегда равна диаметру. D = 2R. По теореме Пифагора, если длина х, то ширина y = √(D^2 - x^2) = √(4R^2 - x^2) Площадь S = xy = x*√(4R^2 - x^2) Область определения 4R^2 - x^2 > 0 x^2 < 4R^2 0 < x < 2R S(R/3) = R/3*√(4R^2 - R^2/9) = R/3*√(35R^2/9) = R/3*R/3*√35 = R^2/9*√35 S(4R/3) = 4R/3*√(4R^2 - 16R^2/9) = 4R/3*√(20R^2/9) = 8R^2/9√5 2) Нет, не является. Имея одно основание х, можно нарисовать как минимум 2 равнобедренных треугольника разной площади. А если х - это длина боковой стороны, то, кажется, треугольников может быть много. Хотя я не уверен. В обоих случаях главное - чтобы вторая сторона (боковая или основание) была не больше диаметра. Это и есть область определения. А вот как найти площадь, я не знаю

Answer 2

Да, площадь прямоугольника является функцией от x.

Пусть длина другой стороны прямоугольника равна y. Тогда площадь прямоугольника S равна S = xy.

Так как прямоугольник вписан в круг радиуса R, то его диагональ (гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника) равна диаметру круга, то есть 2R. По теореме Пифагора:

x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2

Отсюда можно выразить y через x:

y = sqrt(4R^2 - x^2)

Таким образом, площадь прямоугольника является функцией от x:

S(x) = x * sqrt(4R^2 - x^2)

Область определения функции - это множество значений x, для которых выражение под корнем неотрицательно:

4R^2 - x^2 >= 0

x^2 <= 4R^2

-2R <= x <= 2R

Таким образом, область определения функции - интервал [-2R, 2R].

Множество значений функции - это множество всех возможных значений площади прямоугольника при различных значениях x в ее области определения. Поскольку S(x) является произведением двух неотрицательных чисел, она неотрицательна для всех значений x в ее области определения. Максимальное значение функции достигается при x = R (то есть когда прямоугольник является квадратом, вписанным в круг), и равно S(max) = R^2.

Теперь найдем S при x = R/3 и x = 4R/3:

S(R/3) = (R/3) * sqrt(4R^2 - (R/3)^2) = R/3 * sqrt(35/9) = (R/3) * (sqrt(35)/3) = (R/9) * sqrt(35)

S(4R/3) = (4R/3) * sqrt(4R^2 - (4R/3)^2) = 4R/3 * sqrt(28/9) = (4R/3) * (2sqrt(7)/3) = (8R/9) * sqrt(7)

Таким образом, S(R/3) = (R/9) * sqrt(35) и S(4R/3) = (8R/9) * sqrt(7).