Question

корни х1 и х2 уравнения х^2 -7х+q=0 удовлетворяют равенству 5х1-3х2=11 . Найдите корни уравнения и свободный член q

Answer 1

По теореме Виета х1+х2=7
х1=7-х2
подставляем в равенство
5(7-х2)-3х2=11
35-5х2-3х2=11
-8х2=11-35
8х2=24
х2=24:8=3 тогда х1=7-3=4
q=x1×x2=3×4=12

Answer 2

Мы знаем, что для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, с корнями $x_1$ и $x_2$, верно:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ $x_1x_2=\frac{c}{a}$

Данное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, а также известно, что $5x_1 - 3x_2 = 11$. Мы можем воспользоваться этим фактом, чтобы составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x_1+x_2=7 \\ x_1x_2=q \end{cases}$

Теперь нам нужно решить эту систему, чтобы найти значения $x_1$, $x_2$ и $q$.

Выразим $x_2$ из первого уравнения:

$x_2 = 7 - x_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x_1(7-x_1)=q$

$-x_1^2 + 7x_1 = q$

Заменим также $x_2$ в уравнении $5x_1 - 3x_2 = 11$:

$5x_1 - 3(7-x_1) = 11$

$8x_1 - 21 = 11$

$8x_1 = 32$

$x_1=4$

Теперь мы можем найти $x_2$ из первого уравнения:

$x_1+x_2=7$

$4+x_2=7$

$x_2=3$

Используя найденные значения $x_1$ и $x_2$, можем найти $q$:

$-x_1^2 + 7x_1 = q$

$-4^2 + 7\cdot4 = q$

$q = 8$

Таким образом, корни уравнения $x^2 - 7x + 8 = 0$ равны $x_1=4$ и $x_2=3$, а свободный член равен $q=8$.