Question

Найдите область определения функции y=корень из 4-x2/x-1

Answer 1

$y=\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{x-1}$

Во- первых: подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным, то есть ≥ 0.

4 - x² ≥ 0

x² - 4 ≤ 0

(x - 2)(x + 2) ≤ 0

       +                            -                           +

__________[- 2]___________[2]__________

x ∈ [- 2 ; 2]

Во- вторых: знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя.

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

Значит окончательным ответом будет промежуток [- 2 , 2] , но из него нужно исключить число x = 1 , получим :

Ответ : x ∈ [- 2 ; 1) ∪ [1 ; 2]

Answer 2

Для того чтобы определить область определения функции, нужно рассмотреть значения аргумента, при которых функция определена.

В данном случае, функция определена только если знаменатель дроби не равен нулю, так как в этом случае происходит деление на ноль, что является недопустимой операцией. То есть нужно решить неравенство:

x - 1 ≠ 0

Отсюда получаем, что x ≠ 1.

Кроме того, под знаком корня должно находиться неотрицательное выражение, поэтому нужно решить неравенство:

4 - x^2 ≥ 0

Это неравенство можно переписать в виде:

x^2 - 4 ≤ 0

(x - 2)(x + 2) ≤ 0

Для того, чтобы это неравенство выполнялось, необходимо, чтобы либо оба множителя были неотрицательными, либо оба множителя были отрицательными. То есть:

x - 2 ≤ 0 и x + 2 ≤ 0

или

x - 2 ≥ 0 и x + 2 ≥ 0

Решая эти неравенства, получаем:

x ≤ 2 и x ≥ -2

или

x ≥ 2 и x ≤ -2

Первое неравенство не имеет решений, так как условие x ≥ -2 противоречит условию x ≤ 2.

Второе неравенство имеет решения в виде:

-2 ≤ x ≤ 2

Итак, область определения функции y = √(4 - x^2)/(x - 1) - это множество всех значений x, таких что:

-2 ≤ x ≤ 2 и x ≠ 1