Question

Помогите решить: √2sin(2x+π/4)+√3cosx=sin2x-1 Дополнительно: Корни на промежутке [π;5π/2]

Answer 1

√2(sin2x•cosπ/4+cos2x•sinπ/4)+
√3cosx=sin2x-1
sin2x+cos2x+√3cosx=sin2x-1
cos2x+√3cosx+1=0
2cos²x+√3cosx=0
cosx(2cosx+√3)=0
1)cosx=0
x=π/2+πk
2)2cosx=-√3
cosx=-√3/2
x=±(π-√6)+2πk
x=±5π/6+2πk;k€Z

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем выражения под корнями:

√2sin(2x+π/4) = √2sin2xcos(π/4) + √2cos2xsin(π/4) = (cosx + sinx)/√2

√3cosx = cosx√3

Теперь заменим данные преобразования в исходном уравнении:

(cosx + sinx)/√2 + cosx√3 = sin2x - 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

(cosx + sinx)/√2 + cosx√3 - sin2x + 1 = 0

Упростим выражение, раскрыв скобки при sin2x:

cosx/√2 + sinx/√2 + cosx√3 - 2sinx*cosx + 1 = 0

Объединим sinx и cosx, приведя их к общему знаменателю:

(cosx + sinx)/√2 + cosx√3 - 2sinx*cosx + 1 = 0

(√2cosx + √2sinx)/2 + cosx√3 - 2sinx*cosx + 1 = 0

Разделим обе части на 2:

√2cosx/2 + √2sinx/2 + cosx√3/2 - sinx*cosx = -1/2

Перенесем -1/2 на другую сторону:

√2cosx/2 + √2sinx/2 + cosx√3/2 - sinx*cosx + 1/2 = 0

Теперь заметим, что это уравнение имеет вид ax + by + c = 0, где a = √2/2, b = -cosx, c = √2/2 + √3*cosx/2 + 1/2.

Мы можем применить метод угловой биссектрисы для поиска корней этого уравнения на заданном интервале. Для этого найдем угол α между осью x и линией ax + by + c = 0, используя следующую формулу:

tan α = |a/b| * (1 - sign(a)*sign(b)*sqrt(1 - (b/a)^2))

где sign(a) - знак числа a.

В нашем случае, a = √2/2 и b = -cosx. Заметим также, что cosx < 0 на заданном промежутке. Подставим значения и решим уравнение:

tan α = |√2/2/(-cosx)| * (1 - (-1)*(-1)*sqrt(1 - (-cosx/(√2/2))^2)) = |√2/(2cosx)| * (1 - sqrt(2 - 2cosx))

Можно заметить, что при cosx = -1 (то есть x = π), у