Question

Y=(x-3)/(x+1) исследовать эту функцию и построить график

Answer 1

У=x^2+х-3х-3
у=х^2-2х-3
х € R

Answer 2

Для начала, найдем область определения функции Y. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то x+1 ≠ 0, откуда x ≠ -1. Значит, область определения функции Y равна множеству всех действительных чисел, кроме -1:

D(Y) = (-∞, -1) U (-1, +∞).

Теперь проанализируем поведение функции Y при изменении аргумента x.

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При x = 3 функция Y принимает значение 0, т.е. имеет особую точку (3,0).
• При x = 0 числитель равен -3, знаменатель равен 1, а значит, функция принимает значение -3. Точка (0,-3) лежит на графике.

2. Найдем производную функции Y:

Y' = [(x+1)(1) - (x-3)(1)] / (x+1)^2 = -4 / (x+1)^2.

Производная существует для любого x, кроме x = -1. Знак производной определяет поведение функции на интервалах:

• на (-∞,-1) функция Y убывает;
• на (-1,3) функция Y возрастает;
• на (3,+∞) функция Y снова убывает.

3. Найдем точки экстремума функции Y:

• Функция Y не имеет локальных экстремумов.
• Абсолютный максимум функции Y достигается в точке (3,0).
• Абсолютный минимум функции Y не существует, т.к. функция не ограничена.

Теперь построим график функции Y:

На графике видно, что функция Y имеет вертикальную асимптоту x=-1, график пересекает ось Oy в точке (-3,0) и имеет особую точку (3,0). Функция возрастает на интервалах (-1,3) и (-∞,-1) и убывает на интервале (3,+∞).