Question

Помогите, пожалуйста, решить. √(x+5-4√(x+1)) +√(x+2-2√(x+1)) =1

Answer 1

√(√( x+1) - 2)² + √(√( x+1) - 1)²  = 1 
|√(x+1) - 2| + |√(x+1) - 1| = 1
0 <= √(x+1) < 1
-----------------------                       аналогично |a-2| + |a-1| = 1
-√(x+1) + 2 - √(x+1) + 1 = 1
2√(x+1) = 2
√(x+1) = 1
x = 0
---------
1 <= √(x+1) < 2
----------------------- 
-√(x+1) + 2 + √(x+1) - 1 = 1
1 = 1
x = любое из 1 <= x+1 < 4
0 <= x < 3
-----------------------
√(x+1) >= 2
-----------------------  
√(x+1) - 2 + √(x+1) - 1 = 1
√(x+1) = 2
x = 3
Ответ: х --любое число из [0; 3]

Answer 2

Дано уравнение:

√(x+5-4√(x+1)) +√(x+2-2√(x+1)) =1

Для решения данного уравнения, начнем с введения замен:

a = √(x + 1) b = √(x + 1) - 1

Тогда мы можем переписать уравнение в следующем виде:

√(a^2 + 4b) + √(a^2 + 2b) = 1 + a

Возводим обе части уравнения в квадрат:

a^2 + 4b + 2√[(a^2 + 4b)(a^2 + 2b)] + a^2 + 2b = 1 + 2a + a^2

Упрощаем и переносим все члены в левую часть уравнения:

4b + 2√[(a^2 + 4b)(a^2 + 2b)] + 3a^2 - 2a - 1 = 0

Теперь введем еще одну замену:

c = a^2 + 2b

Тогда мы можем переписать уравнение в следующем виде:

2√(c(c + 2a^2)) + 3a^2 - 2a - 1 = 0

Возводим обе части уравнения в квадрат еще раз:

4c(c + 2a^2) + (3a^2 - 2a - 1)^2 = 0

Упрощаем:

16a^4 + 24a^2c + 16c^2 + 9a^4 - 12a^3 - 6a^2 - 6a + 1 = 0

Объединяем члены с одинаковыми степенями и приводим к квадратному уравнению:

25a^4 - 12a^3 + 18a^2 - 12a + 1 = 0

Решаем это уравнение. Можно заметить, что a = 1/2 является одним из корней этого уравнения (проверьте самостоятельно).

Делаем долгое деление многочленов и получаем, что:

25a^4 - 12a^3 + 18a^2 - 12a + 1 = (5a^2 - 2a + 1)^2

Таким образом, мы получаем два значения для a:

a = 1/2 или a = (2 ± √3)/5

Теперь остается найти соответствующие значения для x, используя наши замены:

a = √(x + 1) b = √(x + 1) - 1 c = a^2 + 2b

a = 1/2: x = 5

a = (2 + √3)/5: x = 2 + 2√3

a =