Question

Найти первообразную: 1) ∫ dx/ x²+4x+5 2) ∫ sin xdx/ cos²x

Answer 1

$1)\; \; \; \int \frac{dx}{x^2+4x+5}=\int \frac{dx}{(x+2)^2+1}=\int \frac{d(x+2)}{(x+2)^2+1}=\\\\=[\, t=x+2\; ,\; \int \frac{dt}{t^2+1}=arctgt+c\, ]=arctg(x+2)+C\; ;\\\\2)\; \; \; \int \frac{sinx\, dx}{cos^2x}=[\, t=cosx\; ,\; dt=-sinx\, dx\, ]=-\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C=\\\\=\frac{1}{t}+C=\frac{1}{cosx}+C\; .$

Answer 2

на фото....................

Answer 3

1. Для нахождения первообразной выражения ∫ dx / (x²+4x+5), выполним замену переменной:

Пусть z = x+2, тогда x = z-2 и dx = dz. Подставляя это в выражение для интеграла, получим:

∫ dx / (x²+4x+5) = ∫ dz / ((z-2)²+1)

Выражение в знаменателе можно упростить, воспользовавшись формулой сдвига:

(z-2)² + 1 = z² - 4z + 5 = (z-2)² + 1

Тогда имеем:

∫ dx / (x²+4x+5) = ∫ dz / ((z-2)²+1) = arctan(z-2) + C

Обратной заменой переменной получим ответ:

∫ dx / (x²+4x+5) = arctan(x+2) + C

2. Для нахождения первообразной выражения ∫ sin x dx / cos²x, воспользуемся заменой переменной:

Пусть u = cos x, тогда du/dx = -sin x и dx = -du/sqrt(1-u²). Подставляя это в выражение для интеграла, получим:

∫ sin x dx / cos²x = -∫ du / u² = 1/u + C = 1/cos x + C

Таким образом,

∫ sin x dx / cos²x = 1/cos x + C