Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=cosx на отрезке[π/4;5π/3]

Answer 1

Функция y=cos x определена на всей числовой прямой.

На отрезке [0; π] функция у=cos x убывает, следовательно, $\cos\frac{\pi}{4} > \cos\pi$.

На отрезке [π; 2π] функция у=cos x возрастает, следовательно, $\cos\pi < \cos\frac{5\pi}{3}$.

Таким образом, на отрезке $[\frac{\pi}{4} ; \frac{5\pi}{3} ]$ cos π = -1 - наименьшее.

$\cos \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2};\ \cos \frac{5\pi}{3} =\frac{1}{2}$

Т.к. $\frac{\sqrt{2}}{2}> \frac{1}{2}$, то на отрезке $[\frac{\pi}{4} ; \frac{5\pi}{3}]$ число $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ - наибольшее.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться свойствами тригонометрических функций и знанием графика функции y = cos(x) на интервале от 0 до 2π.

На графике функции y = cos(x) мы видим, что она периодическая с периодом 2π и имеет максимумы в точках x = 0, 2π, 4π, ... и минимумы в точках x = π, 3π, 5π, ....

На отрезке [π/4;5π/3] мы имеем:

• Наименьшее значение функции y = cos(x) достигается в точке x = π, поскольку это первая точка минимума после начала отрезка. Таким образом, y = cos(π) = -1.

• Наибольшее значение функции y = cos(x) достигается в точке x = 5π/3, поскольку это последняя точка максимума на отрезке. Таким образом, y = cos(5π/3) = -0.5.

Таким образом, наименьшее значение функции y=cosx на отрезке [π/4;5π/3] равно -1, а наибольшее значение равно -0.5.